Algebra Esempi

$\log (b x) - \log (b \cdot 5) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $b$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $b$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 \cdot b) - \log (b) (x - 3)$

Passaggio 2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x - \log (b) \cdot - 3$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$

Passaggio 2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1

Riordina i fattori in $\log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - x \log (b) + 3 \log (b)$

Passaggio 2.2.2

Riordina $\log (2 b)$ e $- x \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$

Passaggio 3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $- x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$ .

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Passaggio 3.1.1

Semplifica $3 \log (b)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + \log (b^{3})$

Passaggio 3.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b \cdot b^{3})$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $b$ per $b^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.3.1

Sposta $b^{3}$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b))$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $b^{3}$ per $b$ .

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Passaggio 3.1.3.2.1

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b^{1}))$

Passaggio 3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{3 + 1})$

Passaggio 3.1.3.3

Somma $3$ e $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{4})$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log (\frac{x}{5}) + x \log (b) - \log (2 b^{4}) = 0$

Passaggio 5

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \log (b) + \log (\frac{\frac{x}{5}}{2 b^{4}}) = 0$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2 b^{4}}) = 0$

Passaggio 6.2

Combina.

$x \log (b) + \log (\frac{x \cdot 1}{5 (2 b^{4})}) = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5 \cdot (2 b^{4})}) = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{10 b^{4}}) = 0$

Passaggio 7

Riscrivi $\log (\frac{x}{10 b^{4}}) = - x \log (b)$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{- x \log (b)} = \frac{x}{10 b^{4}}$

Passaggio 8

Risolvi per $b$ .

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Passaggio 8.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (10^{- x \log (b)}) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$

Passaggio 8.2

Espandi $\ln (10^{- x \log (b)})$ spostando $- x \log (b)$ fuori dal logaritmo.

$- x \log (b) \ln (10) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$