Algebra Esempi

$\tan (\arcsin (x + \frac{1}{2}))$

Passaggio 1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, x + \frac{1}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (x + \frac{1}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, x + \frac{1}{2})$ . Perciò, $\tan (\arcsin (x + \frac{1}{2}))$ è $\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

Passaggio 2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x \cdot 2 + 1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

Passaggio 2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

Passaggio 3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

Passaggio 3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x + \frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(1 + x + \frac{1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{2 + 1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3.4

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3.5

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{x \cdot 2 + 3}{2} (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3.8

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3.9

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}))}}$

Passaggio 3.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - \frac{x \cdot 2 + 1}{2})}}$

Passaggio 3.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - \frac{2 x + 1}{2})}}$

Passaggio 3.3.12

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 x + 1}{2})}}$

Passaggio 3.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - (2 x + 1)}{2}}}$

Passaggio 3.3.14

Riscrivi $\frac{2 - (2 x + 1)}{2}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 3.3.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{2}}}$

Passaggio 3.3.14.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - 2 x - 1 \cdot 1}{2}}}$

Passaggio 3.3.14.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - 2 x - 1}{2}}}$

Passaggio 3.3.14.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{- 2 x + 1}{2}}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{2 x + 3}{2}$ per $\frac{- 2 x + 1}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{2 \cdot 2}}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{4}}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(2 x + 3) (- 2 x + 1)$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{4}}}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{2^{2} \cdot 1}}}$

Passaggio 3.6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}}$

Passaggio 3.7

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

Passaggio 3.8

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ .

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{2}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 x + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 x + 1) \frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ per $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ .

$(2 x + 1) (\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}})$

Passaggio 7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ per $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ .

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

Passaggio 7.2

Eleva $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ alla potenza di $1$ .

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

Passaggio 7.3

Eleva $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ alla potenza di $1$ .

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1} {\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1}}$

Passaggio 7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.5

Somma $1$ e $1$ .

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{2}}$

Passaggio 7.6

Riscrivi ${\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{2}$ come $(2 x + 3) (- 2 x + 1)$ .

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Passaggio 7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ come ${((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{({((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{1}}$

Passaggio 7.6.5

Semplifica.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$

Passaggio 8

Moltiplica $2 x + 1$ per $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ .

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$

Passaggio 9

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x) + 1)}$

Passaggio 10

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x) - 1 (- 1))}$

Passaggio 11

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x - 1))}$

Passaggio 12

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 12.1

Riscrivi $- (2 x - 1)$ come $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 1 (2 x - 1))}$

Passaggio 12.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$

Passaggio 12.3

Riordina i fattori in $- \frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)} (2 x + 1)}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$