Algebra Esempi

$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \frac{16}{243}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{2}{3}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{2}{3}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori di $a_{1} = \frac{1}{3}$ e $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Passaggio 5

Combina.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3 \cdot 3^{n - 1}}$

Passaggio 6

Moltiplica $3$ per $3^{n - 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $3$ per $3^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1} \cdot 3^{n - 1}}$

Passaggio 6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1 + n - 1}}$

Passaggio 6.2

Combina i termini opposti in $1 + n - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n + 0}}$

Passaggio 6.2.2

Somma $n$ e $0$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n}}$

Passaggio 7

Moltiplica $2^{n - 1}$ per $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n}}$

Passaggio 8

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 9

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{5}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{5} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{2^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 10.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 10.3

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 10.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 10.5

$- 1$ e $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 10.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 10.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Moltiplica $- 1$ per $243$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 10.7.2

Sottrai $243$ da $32$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 10.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 11.2

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 11.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 3}{3}}$

Passaggio 11.4.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{- 1}{3}}$

Passaggio 11.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 12

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 12.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{211}{243} \cdot 3)$

Passaggio 12.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scomponi $3$ da $\frac{211}{243} \cdot 3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Passaggio 12.3.2

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Passaggio 12.3.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = \frac{211}{243}$