Algebra Esempi

$x^{2} - 5 x + 6 = y$ , $(0, 3)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Passaggio 2

Secondo il teorema dei valori intermedi, se $f$ è una funzione continua a valore reale sull'intervallo $[a, b]$ e $u$ è un numero tra $f (a)$ e $f (b)$ , allora esiste un punto $c$ contenuto nell'intervallo $[a, b]$ tale che $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Calcola $f (a) = f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$ .

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $6$ .

$f (0) = 6$

Passaggio 5

Calcola $f (b) = f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 6$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 6$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$f (3) = 9 - 15 + 6$

Passaggio 5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $15$ da $9$ .

$f (3) = - 6 + 6$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 6$ e $6$ .

$f (3) = 0$

Passaggio 6

Poiché $0$ è sull'intervallo $[0, 6]$ , risolvi l'equazione per $x$ alla radice ponendo $y$ come $0$ in $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 6.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 3, 2$

Passaggio 7

Secondo il teorema dei valori intermedi, esiste una radice $f (c) = 0$ sull'intervallo $[0, 6]$ perché $f$ è una funzione continua su $[0, 3]$ .

Le radici dell'intervallo $[0, 3]$ si trovano con $x = 2$ .

Passaggio 8