Algebra Esempi

$\frac{3}{y - 2} - 2 = \frac{1}{y - 1}$

Passaggio 1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{3}{y - 2} = \frac{1}{y - 1} + 2$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 2, y - 1, 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $y - 2$ è $y - 2$ stesso.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $y - 1$ è $y - 1$ stesso.

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $y - 2, y - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(y - 2) (y - 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(y - 2) (y - 1)$ ciascun termine in $\frac{3}{y - 2} = \frac{1}{y - 1} + 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3}{y - 2} = \frac{1}{y - 1} + 2$ per $(y - 2) (y - 1)$ .

$\frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (y - 1) = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y + 3 \cdot - 1 = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 y - 3 = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Scomponi $y - 1$ da $(y - 2) (y - 1)$ .

$3 y - 3 = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Passaggio 3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 y - 3 = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Passaggio 3.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(y - 2) (y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y (y - 1) - 2 (y - 1))$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y \cdot y + y \cdot - 1 - 2 (y - 1))$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y \cdot y + y \cdot - 1 - 2 y - 2 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} + y \cdot - 1 - 2 y - 2 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} - 1 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} - y - 2 y - 2 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} - y - 2 y + 2)$

Passaggio 3.3.1.3.2

Sottrai $2 y$ da $- y$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} - 3 y + 2)$

Passaggio 3.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 y^{2} - 6 y + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 y^{2} - 6 y + 4$

Passaggio 3.3.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $6 y$ da $y$ .

$3 y - 3 = - 5 y - 2 + 2 y^{2} + 4$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 2$ e $4$ .

$3 y - 3 = - 5 y + 2 y^{2} + 2$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 5 y + 2 y^{2} + 2 = 3 y - 3$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 y + 2 y^{2} + 2 - 3 y = - 3$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3 y$ da $- 5 y$ .

$- 8 y + 2 y^{2} + 2 = - 3$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 y + 2 y^{2} + 2 + 3 = 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $2$ e $3$ .

$- 8 y + 2 y^{2} + 5 = 0$

Passaggio 4.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.5

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 8$ e $c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $5$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.3

Sottrai $40$ da $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.4

Riscrivi $24$ come $2^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$

Passaggio 4.6.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 4.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{4 + \sqrt{6}}{2}, \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = \frac{4 + \sqrt{6}}{2}, \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$

Forma decimale:

$y = 3.22474487 \dots, 0.77525512 \dots$