Algebra Esempi

$y = \frac{\log (x)}{4 + \log (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\log (x)}{4 + \log (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = 4 + \log (x)$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\log (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + \log (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\log (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

$\frac{1}{x \ln (10)}$ e $\log (x)$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Per scrivere $(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

$(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ e $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9

$x$ e $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10

$\ln (10)$ e $\frac{x}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11

Elimina il fattore comune di $\ln (10)$ .

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Passaggio 3.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.12

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.12.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $4 + \log (x)$ per $1$ .

$\frac{\frac{4 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.14

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.15

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.15.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.15.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.16

Riscrivi $\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ come un prodotto.

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.17

Moltiplica $\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}$ per $\frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.18

Semplifica.

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Passaggio 3.18.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.18.1.1

Il logaritmo in base $10$ di $1$ è $0$ .

$\frac{4 + 0}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.18.1.2

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 3.18.2

Riordina i termini.

$\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

Passaggio 3.18.3

Riordina i fattori in $\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ .

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$