Algebra Esempi

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} \leq \frac{6}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Risolvi $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $x^{2} - 3 x + 2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 3 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Passaggio 1.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica $\frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 = \frac{6}{x^{2} - 2^{2}} (x^{2} - 3 x + 2)$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$2 = \frac{6}{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 3 x + 2)$

Passaggio 1.2.2.1.2

Moltiplica $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ per $x^{2} - 3 x + 2$ .

$2 = \frac{6 (x^{2} - 3 x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 1.2.2.1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 = \frac{6 ((x - 2) (x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = \frac{6 (x - 1)}{x + 2}$

Passaggio 1.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$

Passaggio 1.3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 2, 1$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$x + 2, 1$

Passaggio 1.3.2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x + 2$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica per $x + 2$ ciascun termine in $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ per $x + 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$6 (x - 1) = 2 (x + 2)$

Passaggio 1.3.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x + 6 \cdot - 1 = 2 (x + 2)$

Passaggio 1.3.3.2.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$6 x - 6 = 2 (x + 2)$

Passaggio 1.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x - 6 = 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 1.3.3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 x - 6 = 2 x + 4$

Passaggio 1.3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x - 6 - 2 x = 4$

Passaggio 1.3.4.1.2

Sottrai $2 x$ da $6 x$ .

$4 x - 6 = 4$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 4 + 6$

Passaggio 1.3.4.2.2

Somma $4$ e $6$ .

$4 x = 10$

Passaggio 1.3.4.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 10$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Passaggio 1.3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Passaggio 1.3.4.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{10}{4}$

Passaggio 1.3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.3.1

Elimina il fattore comune di $10$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$x = \frac{2 (5)}{4}$

Passaggio 1.3.4.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.4.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.4.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.4

Trova il dominio di $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Imposta il denominatore in $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.4.2.2

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.4.2.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.4.2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.4.2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 2, 1$

Passaggio 1.4.3

Imposta il denominatore in $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.4.4.2

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.4.4.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.4.4.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.4.4.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.4.4.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 1.4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 1.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Passaggio 1.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 1.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 2} \leq \frac{6}{{(- 4)}^{2} - 4}$

Passaggio 1.6.1.3

Il lato sinistro di $0.0\overline{6}$ è minore del lato destro di $0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2} \leq \frac{6}{{(0)}^{2} - 4}$

Passaggio 1.6.2.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $- 1.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.6.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.5$

Passaggio 1.6.3.2

Sostituisci $x$ con $1.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{{(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2} \leq \frac{6}{{(1.5)}^{2} - 4}$

Passaggio 1.6.3.3

Il lato sinistro di $- 8$ è minore del lato destro di $- 3.\overline{428571}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.6.4

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2.25$

Passaggio 1.6.4.2

Sostituisci $x$ con $2.25$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{{(2.25)}^{2} - 3 \cdot 2.25 + 2} \leq \frac{6}{{(2.25)}^{2} - 4}$

Passaggio 1.6.4.3

Il lato sinistro di $6.4$ è maggiore del lato destro di $5.64705882$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.6.5

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 1.6.5.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 + 2} \leq \frac{6}{{(5)}^{2} - 4}$

Passaggio 1.6.5.3

Il lato sinistro di $0.1\overline{6}$ è minore del lato destro di $0.\overline{285714}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.6.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Vero

$2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Vero

$2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Vero

Passaggio 1.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $1 < x < 2$ o $x \geq \frac{5}{2}$

Passaggio 2

Utilizza la diseguaglianza $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ per creare la notazione dell'insieme.

${x | x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}}$

Passaggio 3