Algebra Esempi

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 0.5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $0.5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $0.5 x$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.5 x$ rispetto a $x$ è $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $0.5$ per $1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta $0.5$ alla sinistra di $e^{0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 e^{- 0.5 x}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $- 0.5$ per $1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $- 0.5$ alla sinistra di $e^{- 0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $- 0.5$ per $64$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

Passaggio 2.2

Sposta $- 32 e^{- 0.5 x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi $\ln (0.5 e^{0.5 x})$ come $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.4.2

Espandi $\ln (e^{0.5 x})$ spostando $0.5 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.4.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $0.5$ per $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.5

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\ln (32 e^{- 0.5 x})$ come $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.5.2

Espandi $\ln (e^{- 0.5 x})$ spostando $- 0.5 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

Passaggio 2.5.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- 0.5$ per $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

Passaggio 2.6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

Passaggio 2.7

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

Passaggio 2.8

Dividi $0.5$ per $32$ .

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

Passaggio 2.9

Sottrai $0.5 x$ da $- 0.5 x$ .

$\ln (0.015625) = - 1 x$

Passaggio 2.10

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 1 x = \ln (0.015625)$

Passaggio 2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 x = \ln (0.015625)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 x = \ln (0.015625)$ .

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Passaggio 2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Passaggio 2.11.2.1.2

Scomponi $1$ da $- 1 (1) x$ .

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Passaggio 2.11.2.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Passaggio 2.11.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.2.1

Riscrivi $- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ come $- (- 1 \cdot 1 x)$ .

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Passaggio 2.11.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Passaggio 2.11.2.2.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Passaggio 2.11.2.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Passaggio 2.11.2.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Passaggio 2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

Passaggio 2.11.3.2

Dividi $\ln (0.015625)$ per $1$ .

$x = - \ln (0.015625)$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- \ln (0.015625)$ .

$- \ln (0.015625)$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ .

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \ln (0.015625))$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.15888308$ nell'espressione.

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $0.5$ per $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $0.5$ per $e^{1.57944154}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 0.5$ per $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

Passaggio 5.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

Passaggio 5.2.1.5

$- 32$ e $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

Passaggio 5.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

Passaggio 5.2.1.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

Passaggio 5.2.1.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $1.57944154$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

Passaggio 5.2.1.9

Dividi $32$ per $4.85224527$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

Passaggio 5.2.1.10

Moltiplica $- 1$ per $6.59488508$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $6.59488508$ da $2.42612263$ .

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 4.16876244$ .

$- 4.16876244$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = 3.15888308$ la derivata è $- 4.16876244$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - \ln (0.015625))$ .

Decrescente su $(- \infty, - \ln (0.015625))$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \ln (0.015625), \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5.15888308$ nell'espressione.

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $0.5$ per $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $0.5$ per $e^{2.57944154}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 0.5$ per $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

Passaggio 6.2.1.5

$- 32$ e $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

Passaggio 6.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

Passaggio 6.2.1.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $2.57944154$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

Passaggio 6.2.1.9

Dividi $32$ per $13.18977016$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

Passaggio 6.2.1.10

Moltiplica $- 1$ per $2.42612263$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2.42612263$ da $6.59488508$ .

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $4.16876244$ .

$4.16876244$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 5.15888308$ la derivata è $4.16876244$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \ln (0.015625), \infty)$ .

Crescente su $(- \ln (0.015625), \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \ln (0.015625), \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - \ln (0.015625))$

Passaggio 8