Algebra Esempi

$\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$ come $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{d}{d n} [x^{\frac{2 n + 1}{n}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = x$ e $g = \frac{2 n + 1}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{n}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1 \cdot \frac{n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$- 1$ e $\frac{n}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} + \frac{- n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1 - n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $n$ da $2 n$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{n + 1}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 4.2.3

$\frac{2 n + 1}{n}$ e $x^{\frac{n + 1}{n}}$ .

$\frac{d}{d n} [x] \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 4.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $x$ rispetto a $n$ è $0$ .

$0 \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $0$ per $\frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n}$ .

$0 + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 4.4.2

Somma $0$ e $\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ è $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ dove $f (n) = 2 n + 1$ e $g (n) = n$ .

$\frac{n \frac{d}{d n} [2 n + 1] - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 n + 1$ rispetto a $n$ è $\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]$ .

$\frac{n (\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $2 n$ rispetto a $n$ è $2 \frac{d}{d n} [n]$ .

$\frac{n (2 \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{n (2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{n (2 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $1$ rispetto a $n$ è $0$ .

$\frac{n (2 + 0) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{n \cdot 2 - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $n$ .

$\frac{2 \cdot n - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 n - (2 n + 1) \cdot 1}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Passaggio 6.8.2

$x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ e $\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}} \ln (x)$

Passaggio 6.8.3

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1)) \ln (x)}{n^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n) - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $2 n$ da $2 n$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (0 - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \cdot - 1 \ln (x)}{n^{2}}$

Passaggio 7.2.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

Passaggio 7.2.5

Riscrivi $- 1 x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ come $- x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{- x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

Passaggio 7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$