Algebra Esempi

$\frac{x + 3}{y (z + 5)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (z + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Passaggio 2.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $y (z + 5)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y (z + 5)$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(y z + y \cdot 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.6.1.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{y z + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{y z + 5 \cdot y \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{y z + 5 y - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 x - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1 \cdot 3 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.5.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Combina i termini opposti in $y z + 5 y + 0 + 0$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Somma $y z + 5 y$ e $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.2

Somma $y z + 5 y$ e $0$ .

$\frac{y z + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $y$ da $y z + 5 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $y$ da $y z$ .

$\frac{y (z) + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $y$ da $5 y$ .

$\frac{y (z) + y \cdot 5}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.7.3

Scomponi $y$ da $y (z) + y \cdot 5$ .

$\frac{y (z + 5)}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.8.1

Scomponi $y$ da $y^{2} {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Passaggio 3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{z + 5}{y {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Elimina il fattore comune di $z + 5$ e ${(z + 5)}^{2}$ .

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Passaggio 3.9.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{y {(z + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.9.2.1

Scomponi $z + 5$ da $y {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Passaggio 3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Passaggio 3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y (z + 5)}$