Algebra Esempi

$x^{4} - 13 x^{2} + 36$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 13 {(2)}^{2} + 36$

Passaggio 4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 13 \cdot 4 + 36$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 13$ per $4$ .

$16 - 52 + 36$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $52$ da $16$ .

$- 36 + 36$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 36$ e $36$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} - 13 x^{2} + 36}{x - 2}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$	$2$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 13)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$- 9$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 9)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 18)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 36)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(36)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 9) x - 18$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 2) + x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

$(x - 2) x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 2$ .

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 9)$

Passaggio 9

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 3^{2})$

Passaggio 10

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x - 2) + (x + 2) ((x + 3) (x - 3))$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 2) + (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 2) (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

Passaggio 11

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 12

Scomponi $u^{2} - 13 u + 36$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $36$ e la cui somma è $- 13$ .

$- 9, - 4$

Passaggio 12.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

Passaggio 13

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Passaggio 14

Imposta $u - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta $u - 9$ uguale a $0$ .

$u - 9 = 0$

Passaggio 14.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 9$

Passaggio 15

Imposta $u - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Imposta $u - 4$ uguale a $0$ .

$u - 4 = 0$

Passaggio 15.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 4$

Passaggio 16

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 9) (u - 4) = 0$ vera.

$u = 9, 4$

Passaggio 17

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Passaggio 18

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 19

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 19.2

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 19.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 19.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 19.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 19.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 20

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Passaggio 21

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = 4$

Passaggio 21.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 21.3

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 21.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 21.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 21.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 21.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 22

La soluzione di $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ è $x = 3, - 3, 2, - 2$ .

$x = 3, - 3, 2, - 2$

Passaggio 23