Algebra Esempi

$y = x^{3} + 5 x^{2} + 8$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{3} + 5 x^{2} + 8$ come funzione.

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} + 8$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 5 x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$3 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 10 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $3 x^{2} + 10 x$ e $0$ .

$3 x^{2} + 10 x$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 10 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (10 x)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 10 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 10 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 10$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} + 10 x = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 5 x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x + 0$

Passaggio 5.1.3.2

Somma $3 x^{2} + 10 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 10 x$ .

$3 x^{2} + 10 x$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 10 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2} + 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 10 x = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $x$ da $10 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 10 = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot 10$ .

$x (3 x + 10) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 10 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $3 x + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $3 x + 10$ uguale a $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $3 x + 10 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 10$

Passaggio 6.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 10$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 6.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 6.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{10}{3}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (3 x + 10) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{10}{3}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - \frac{10}{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (0) + 10$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 + 10$

Passaggio 10.2

Somma $0$ e $10$ .

$10$

Passaggio 11

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} + 8$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2} + 8$

Passaggio 12.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0 + 8$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 8$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 8$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $0$ e $8$ .

$f (0) = 8$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $8$ .

$y = 8$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{10}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- \frac{10}{3}) + 10$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{10}{3}$ nel numeratore.

$6 (\frac{- 10}{3}) + 10$

Passaggio 14.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{- 10}{3} + 10$

Passaggio 14.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{- 10}{3} + 10$

Passaggio 14.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot - 10 + 10$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$- 20 + 10$

Passaggio 14.2

Somma $- 20$ e $10$ .

$- 10$

Passaggio 15

$x = - \frac{10}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{10}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - \frac{10}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{10}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{10}{3}) = {(- \frac{10}{3})}^{3} + 5 {(- \frac{10}{3})}^{2} + 8$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{10}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{10}{3})}^{3} + 5 {(- \frac{10}{3})}^{2} + 8$

Passaggio 16.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{10}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{10^{3}}{3^{3}}) + 5 {(- \frac{10}{3})}^{2} + 8$

Passaggio 16.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{10^{3}}{3^{3}} + 5 {(- \frac{10}{3})}^{2} + 8$

Passaggio 16.2.1.3

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{3^{3}} + 5 {(- \frac{10}{3})}^{2} + 8$

Passaggio 16.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + 5 {(- \frac{10}{3})}^{2} + 8$

Passaggio 16.2.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{10}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{10}{3})}^{2}) + 8$

Passaggio 16.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{10}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{10^{2}}{3^{2}})) + 8$

Passaggio 16.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + 5 (1 (\frac{10^{2}}{3^{2}})) + 8$

Passaggio 16.2.1.7

Moltiplica $\frac{10^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + 5 (\frac{10^{2}}{3^{2}}) + 8$

Passaggio 16.2.1.8

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + 5 (\frac{100}{3^{2}}) + 8$

Passaggio 16.2.1.9

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + 5 (\frac{100}{9}) + 8$

Passaggio 16.2.1.10

Moltiplica $5 (\frac{100}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.10.1

$5$ e $\frac{100}{9}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + \frac{5 \cdot 100}{9} + 8$

Passaggio 16.2.1.10.2

Moltiplica $5$ per $100$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + \frac{500}{9} + 8$

Passaggio 16.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Moltiplica $\frac{500}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + \frac{500}{9} \cdot \frac{3}{3} + 8$

Passaggio 16.2.2.2

Moltiplica $\frac{500}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + \frac{500 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 8$

Passaggio 16.2.2.3

Scrivi $8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + \frac{500 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{1}$

Passaggio 16.2.2.4

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + \frac{500 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 16.2.2.5

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + \frac{500 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 16.2.2.6

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + \frac{500 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 16.2.2.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{1000}{27} + \frac{500 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 16.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 1000 + 500 \cdot 3 + 8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 16.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 16.2.4.1

Moltiplica $500$ per $3$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 1000 + 1500 + 8 \cdot 27}{27}$

Passaggio 16.2.4.2

Moltiplica $8$ per $27$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 1000 + 1500 + 216}{27}$

Passaggio 16.2.5

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.5.1

Somma $- 1000$ e $1500$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{500 + 216}{27}$

Passaggio 16.2.5.2

Somma $500$ e $216$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{716}{27}$

Passaggio 16.2.6

La risposta finale è $\frac{716}{27}$ .

$y = \frac{716}{27}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} + 5 x^{2} + 8$ .

$(0, 8)$ è un minimo locale

$(- \frac{10}{3}, \frac{716}{27})$ è un massimo locale

Passaggio 18