Algebra Esempi

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$

Passaggio 1

Scrivi $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ come funzione.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $12 x^{2} - 24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 12 x^{2} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 8 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 2 = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 2 = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 2$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 2) = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 6.2.2.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 2$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 2$

Passaggio 6.2.2.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Passaggio 6.2.2.1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 + 2$

Passaggio 6.2.2.1.3.5

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 6.2.2.1.3.6

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 6.2.2.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2}{x - 1}$

Passaggio 6.2.2.1.5

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Passaggio 6.2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Passaggio 6.2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 6.2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 6.2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 6.2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 6.2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$

Passaggio 6.2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 6.2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 6.2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 6.2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 6.2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Passaggio 6.2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 6.2.2.1.6

Scrivi $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ come insieme di fattori.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 x - 2)) = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6.5

Imposta $x^{2} - 2 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x^{2} - 2 x - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.5.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 6.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.4.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.5.2.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 6.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 6.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.5.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.5.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.5.2.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 6.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 6.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$ vera.

$x = 1, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 24 \cdot 1$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$12 - 24$

Passaggio 10.2

Sottrai $24$ da $12$ .

$- 12$

Passaggio 11

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1)$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 4 {(1)}^{3} + 8 (1)$

Passaggio 12.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 8 (1)$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 8 (1)$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 8$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (1) = - 3 + 8$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $- 3$ e $8$ .

$f (1) = 5$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 1 + \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1 + \sqrt{3})}^{2} - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Riscrivi ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$12 ((1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.2

Espandi $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$12 (1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.3.1.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.3.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.3.1.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.3.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$12 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.3.2

Somma $1$ e $3$ .

$12 (4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.3.3

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$12 (4 + 2 \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$12 \cdot 4 + 12 (2 \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.5

Moltiplica $12$ per $4$ .

$48 + 12 (2 \sqrt{3}) - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.6

Moltiplica $2$ per $12$ .

$48 + 24 \sqrt{3} - 24 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 14.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$48 + 24 \sqrt{3} - 24 \cdot 1 - 24 \sqrt{3}$

Passaggio 14.1.8

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$48 + 24 \sqrt{3} - 24 - 24 \sqrt{3}$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $24$ da $48$ .

$24 + 24 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $24 \sqrt{3}$ da $24 \sqrt{3}$ .

$24 + 0$

Passaggio 14.2.3

Somma $24$ e $0$ .

$24$

Passaggio 15

$x = 1 + \sqrt{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1 + \sqrt{3}$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 1 + \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1 + \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (1 + \sqrt{3}) = {(1 + \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \cdot (1 \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.7

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.9

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.10

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.11

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.11.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.11.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.12

Estrai i termini dal radicale.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.13

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.14

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.14.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.14.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.14.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.14.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.14.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.14.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.14.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.14.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.14.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{2} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.2.15

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9 - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.3

Somma $1$ e $18$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 19 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} + 9 - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.4

Somma $19$ e $9$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.5

Somma $4 \sqrt{3}$ e $12 \sqrt{3}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 {(1 + \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.6

Usa il teorema binomiale.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.7.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{3}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.5.5

Calcola l'esponente.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + \sqrt{3^{3}}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.8

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + \sqrt{27}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.9

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.7.9.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + \sqrt{9 (3)}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.9.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.7.10

Estrai i termini dal radicale.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \sqrt{3} + 9 + 3 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.8

Somma $1$ e $9$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (10 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.9

Somma $3 \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 (10 + 6 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 4 \cdot 10 - 4 (6 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.11

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 40 - 4 (6 \sqrt{3}) + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.12

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 40 - 24 \sqrt{3} + 8 (1 + \sqrt{3})$

Passaggio 16.2.1.13

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 40 - 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 1 + 8 \sqrt{3}$

Passaggio 16.2.1.14

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = 28 + 16 \sqrt{3} - 40 - 24 \sqrt{3} + 8 + 8 \sqrt{3}$

Passaggio 16.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Sottrai $40$ da $28$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 12 + 16 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 8 + 8 \sqrt{3}$

Passaggio 16.2.2.2

Somma $- 12$ e $8$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 4 + 16 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}$

Passaggio 16.2.2.3

Sottrai $24 \sqrt{3}$ da $16 \sqrt{3}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 4 - 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}$

Passaggio 16.2.2.4

Somma $- 8 \sqrt{3}$ e $8 \sqrt{3}$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 4 + 0$

Passaggio 16.2.2.5

Somma $- 4$ e $0$ .

$f (1 + \sqrt{3}) = - 4$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = 1 - \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1 - \sqrt{3})}^{2} - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Riscrivi ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$12 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.2

Espandi $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$12 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.2

Moltiplica $- \sqrt{3}$ per $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.1.5.5

Calcola l'esponente.

$12 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.2

Somma $1$ e $3$ .

$12 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.3.3

Sottrai $\sqrt{3}$ da $- \sqrt{3}$ .

$12 (4 - 2 \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$12 \cdot 4 + 12 (- 2 \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.5

Moltiplica $12$ per $4$ .

$48 + 12 (- 2 \sqrt{3}) - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.6

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$48 - 24 \sqrt{3} - 24 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$48 - 24 \sqrt{3} - 24 \cdot 1 - 24 (- \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.8

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$48 - 24 \sqrt{3} - 24 - 24 (- \sqrt{3})$

Passaggio 18.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 24$ .

$48 - 24 \sqrt{3} - 24 + 24 \sqrt{3}$

Passaggio 18.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sottrai $24$ da $48$ .

$24 - 24 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}$

Passaggio 18.2.2

Somma $- 24 \sqrt{3}$ e $24 \sqrt{3}$ .

$24 + 0$

Passaggio 18.2.3

Somma $24$ e $0$ .

$24$

Passaggio 19

$x = 1 - \sqrt{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1 - \sqrt{3}$ è un minimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = 1 - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1 - \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (1 - \sqrt{3}) = {(1 - \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 + 4 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.7

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.9

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.10

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.10.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.2.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.10.5

Calcola l'esponente.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.11

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.12

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.13

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.15

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.16

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.17

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.2.17.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.17.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.18

Estrai i termini dal radicale.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.19

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.20

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.21

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.22

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.23

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.24

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.2.24.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.24.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.24.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.24.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.2.24.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.24.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.2.24.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.24.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.24.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.24.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{2} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.2.25

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 9 - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.3

Somma $1$ e $18$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 19 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 9 - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.4

Somma $19$ e $9$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.5

Sottrai $12 \sqrt{3}$ da $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 {(1 - \sqrt{3})}^{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.6

Usa il teorema binomiale.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.7.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 + 3 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.6

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.8

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.9

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.7.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.7.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.9.5

Calcola l'esponente.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.10

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.11

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - {\sqrt{3}}^{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.13

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - \sqrt{3^{3}}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.14

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - \sqrt{27}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.15

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.7.15.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - \sqrt{9 (3)}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.15.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.16

Estrai i termini dal radicale.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - (3 \sqrt{3})) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.7.17

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (1 - 3 \sqrt{3} + 9 - 3 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.8

Somma $1$ e $9$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (10 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.9

Sottrai $3 \sqrt{3}$ da $- 3 \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 (10 - 6 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 4 \cdot 10 - 4 (- 6 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.11

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 - 4 (- 6 \sqrt{3}) + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.12

Moltiplica $- 6$ per $- 4$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 + 24 \sqrt{3} + 8 (1 - \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.13

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 + 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 1 + 8 (- \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.14

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 + 24 \sqrt{3} + 8 + 8 (- \sqrt{3})$

Passaggio 20.2.1.15

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = 28 - 16 \sqrt{3} - 40 + 24 \sqrt{3} + 8 - 8 \sqrt{3}$

Passaggio 20.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1

Sottrai $40$ da $28$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 12 - 16 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 8 - 8 \sqrt{3}$

Passaggio 20.2.2.2

Somma $- 12$ e $8$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 4 - 16 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}$

Passaggio 20.2.2.3

Somma $- 16 \sqrt{3}$ e $24 \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 4 + 8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}$

Passaggio 20.2.2.4

Sottrai $8 \sqrt{3}$ da $8 \sqrt{3}$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 4 + 0$

Passaggio 20.2.2.5

Somma $- 4$ e $0$ .

$f (1 - \sqrt{3}) = - 4$

Passaggio 20.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ .

$(1, 5)$ è un massimo locale

$(1 + \sqrt{3}, - 4)$ è un minimo locale

$(1 - \sqrt{3}, - 4)$ è un minimo locale

Passaggio 22