Algebra Esempi

$e^{x} + e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{x} + e^{- 2 x}$ come funzione.

$f (x) = e^{x} + e^{- 2 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.5

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 2 e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- 2 x})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- 2 x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- 2 x}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (- 2 \cdot e^{- 2 x})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = e^{x} + 4 e^{- 2 x}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4 e^{- 2 x} + e^{x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$e^{x} - 2 e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Passaggio 5.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Passaggio 5.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Passaggio 5.1.3.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Passaggio 5.1.3.5

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{x} - 2 e^{- 2 x}$ .

$e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{x} - 2 e^{- 2 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{x} - 2 e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 6.2

Sposta $- 2 e^{- 2 x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$e^{x} = 2 e^{- 2 x}$

Passaggio 6.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- 2 x})$

Passaggio 6.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2 e^{- 2 x})$

Passaggio 6.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 e^{- 2 x})$

Passaggio 6.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (2 e^{- 2 x})$

Passaggio 6.5

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi $\ln (2 e^{- 2 x})$ come $\ln (2) + \ln (e^{- 2 x})$ .

$x = \ln (2) + \ln (e^{- 2 x})$

Passaggio 6.5.2

Espandi $\ln (e^{- 2 x})$ spostando $- 2 x$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (2) - 2 x \ln (e)$

Passaggio 6.5.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x = \ln (2) - 2 x \cdot 1$

Passaggio 6.5.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x = \ln (2) - 2 x$

Passaggio 6.6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + 2 x = \ln (2)$

Passaggio 6.6.2

Somma $x$ e $2 x$ .

$3 x = \ln (2)$

Passaggio 6.7

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \ln (2)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \ln (2)$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3}$

Passaggio 6.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3}$

Passaggio 6.7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{3}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{\ln (2)}{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\ln (2)}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 e^{- 2 \frac{\ln (2)}{3}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $\frac{\ln (2)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$4 e^{- 2 (\frac{1}{3} \ln (2))} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$4 e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10.3

Semplifica $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$4 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2})} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$4 {(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10.5

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$4 \cdot 2^{\frac{- 2}{3}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \cdot 2^{- \frac{2}{3}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10.7

$4$ e $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Passaggio 10.8

Riscrivi $\frac{\ln (2)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$

Passaggio 10.9

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 10.10

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11

$x = \frac{\ln (2)}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{\ln (2)}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{\ln (2)}{3}$ .

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Passaggio 12.1

Simplify $\frac{\ln (2)}{3}$ to substitute in $f (x) = e^{x} + e^{- 2 x}$ .

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Passaggio 12.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (2)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$

Passaggio 12.1.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln (2^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 12.2

Sostituisci la variabile $x$ con $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ nell'espressione.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 12.3

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 12.3.1.2

Semplifica $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2})}$

Passaggio 12.3.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + {(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$

Passaggio 12.3.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{1}{3} \cdot - 2}$

Passaggio 12.3.1.4.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 12.3.1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 12.3.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 12.3.2

La risposta finale è $2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$y = 2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{x} + e^{- 2 x}$ .

$(\frac{\ln (2)}{3}, 2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})$ è un minimo locale

Passaggio 14