Algebra Esempi

$\frac{3 z^{11} + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Scomponi $3 z^{5}$ da $3 z^{11} + 3 z^{5}$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $3 z^{5}$ da $3 z^{11}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $3 z^{5}$ da $3 z^{5}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $3 z^{5}$ da $3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{6} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $z^{6}$ come ${(z^{2})}^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1^{3})}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = z^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(z^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 1.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $z^{12}$ come ${(z^{6})}^{2}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{{(z^{6})}^{2} + 4 z^{6} + 3}$

Passaggio 2.2

Sia $u = z^{6}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $z^{6}$ con $u$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{u^{2} + 4 u + 3}$

Passaggio 2.3

Scomponi $u^{2} + 4 u + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $4$ .

$1, 3$

Passaggio 2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(u + 1) (u + 3)}$

Passaggio 2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $z^{6}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{6} + 1) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $z^{6}$ come ${(z^{2})}^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 2.6

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1^{3}) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 2.7

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = z^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

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Passaggio 2.8.1

Moltiplica gli esponenti in ${(z^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.8.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 2.8.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $z^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $z^{4} - z^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 z^{5}}{z^{6} + 3}$