Algebra Esempi

$y = (2 x^{2} + 3) (3 x - 4)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x^{2} + 3$ e $g (x) = 3 x - 4$ .

$(2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 4] + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(2 x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 x^{2} + 3) (3 + 0) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Passaggio 4.2

Somma $3$ e $0$ .

$(2 x^{2} + 3) \cdot 3 + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(2 x^{2} + 3) \cdot 3 + (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(2 x^{2} + 3) \cdot 3 + (3 x - 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(2 x^{2} + 3) \cdot 3 + (3 x - 4) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(2 x^{2} + 3) \cdot 3 + (3 x - 4) (4 x + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 x^{2} + 3) \cdot 3 + (3 x - 4) (4 x + 0)$

Passaggio 6.2

Somma $4 x$ e $0$ .

$(2 x^{2} + 3) \cdot 3 + (3 x - 4) (4 x)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (3 x - 4) (4 x)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 3 x (4 x) - 4 (4 x)$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + 3 \cdot 3 + 3 x (4 x) - 4 (4 x)$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$6 x^{2} + 9 + 3 x (4 x) - 4 (4 x)$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$6 x^{2} + 9 + 12 x \cdot x - 4 (4 x)$

Passaggio 7.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 x^{2} + 9 + 12 (x^{1} x) - 4 (4 x)$

Passaggio 7.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 x^{2} + 9 + 12 (x^{1} x^{1}) - 4 (4 x)$

Passaggio 7.3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{2} + 9 + 12 x^{1 + 1} - 4 (4 x)$

Passaggio 7.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$6 x^{2} + 9 + 12 x^{2} - 4 (4 x)$

Passaggio 7.3.8

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$6 x^{2} + 9 + 12 x^{2} - 16 x$

Passaggio 7.3.9

Somma $6 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$18 x^{2} + 9 - 16 x$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$18 x^{2} - 16 x + 9$