Algebra Esempi

$f (y) = \frac{2 y^{3} - y^{2} + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1}$ , $g (y) = \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 1

Sostituisci gli identificatori della funzione con le funzioni effettive in $f (y) \cdot (g (y))$ .

$(\frac{2 y^{3} - y^{2} + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1}) \cdot (\frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1})$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(2 y^{3} - y^{2}) + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{y^{2} (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y^{3} - y^{2}) + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{y^{2} (y - 1) + 1 (y - 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e la cui somma è $b = - 3$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 y$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 (y) + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi $- 3$ come $- 1$ più $- 2$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} + (- 1 - 2) y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 1 y - 2 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y^{2} - 1 y) - 2 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{y (2 y - 1) - (2 y - 1)}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi $4 y^{2}$ come ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 4 y + 1}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 4 y + 1^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Passaggio 2.4.4

Riscrivi il polinomio.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}}$

Passaggio 2.4.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 2 y$ e $b = 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.5.1

Combina.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune di $2 y - 1$ e ${(2 y - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $2 y - 1$ da $(2 y - 1) (y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))$ .

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.5.2.2.1

Scomponi $2 y - 1$ da $(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(2 y - 1) ((y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1))}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(2 y - 1) ((y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1))}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1)}$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

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Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1)}$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 y - 1) (y - 1)}{(y - 1) (2 y - 1)}$

Passaggio 2.5.4

Elimina il fattore comune di $2 y - 1$ .

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Passaggio 2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 y - 1) (y - 1)}{(y - 1) (2 y - 1)}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Passaggio 2.5.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

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Passaggio 2.5.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Passaggio 2.5.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1$