Algebra Esempi

$y = \sqrt[3]{x} + 1$ ; $[0, 1]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sqrt[3]{x} + 1 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\sqrt[3]{x} + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt[3]{x} = - 1$

Passaggio 1.2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Semplifica.

$x = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$x = - 1$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(- 1, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $\sqrt[3]{x} + 1$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{0}^{1} d x$

Passaggio 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{0}^{1} d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} d x$

Passaggio 3.6

Applica la regola costante.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + x]_{0}^{1}$

Passaggio 3.7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.7.1

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1}$ e $x]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x]_{0}^{1}$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.7.2.1

Calcola $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + 1) - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2

Semplifica.

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Passaggio 3.7.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3}{4} \cdot 1 + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$\frac{3}{4} + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3}{4} + \frac{4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 + 4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.5

Somma $3$ e $4$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.6

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.7

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.7.2.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0 + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.10

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $0$ .

$\frac{7}{4} - (0 + 0)$

Passaggio 3.7.2.2.11

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{7}{4} - 0$

Passaggio 3.7.2.2.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{7}{4} + 0$

Passaggio 3.7.2.2.13

Somma $\frac{7}{4}$ e $0$ .

$\frac{7}{4}$

Passaggio 4