Algebra Esempi

$(- 3, \frac{343}{64})$

Passaggio 1

Per trovare una funzione esponenziale, $f (x) = a^{x}$ , contenente il punto, imposta $f (x)$ nella funzione sul valore $y$ $\frac{343}{64}$ del punto e imposta $x$ sul valore $x$ $- 3$ del punto.

$\frac{343}{64} = a^{- 3}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $a^{- 3} = \frac{343}{64}$ .

$a^{- 3} = \frac{343}{64}$

Passaggio 2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a^{3}, 64$

Passaggio 2.3.2

Since $a^{3}, 64$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 64$ then find LCM for the variable part $a^{3}$ .

Passaggio 2.3.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.3.5

I fattori primi per $64$ sono $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$64$ presenta fattori di $2$ e $32$ .

$2 \cdot 32$

Passaggio 2.3.5.2

$32$ presenta fattori di $2$ e $16$ .

$2 \cdot 2 \cdot 16$

Passaggio 2.3.5.3

$16$ presenta fattori di $2$ e $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8$

Passaggio 2.3.5.4

$8$ presenta fattori di $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Passaggio 2.3.5.5

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 2.3.6.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$16 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 2.3.6.4

Moltiplica $16$ per $2$ .

$32 \cdot 2$

Passaggio 2.3.6.5

Moltiplica $32$ per $2$ .

$64$

Passaggio 2.3.7

I fattori di $a^{3}$ sono $a \cdot a \cdot a$ , che corrisponde a $a$ moltiplicato per i fattori $3$ volte.

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

$a$ si verifica $3$ volte.

Passaggio 2.3.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $a^{3}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a \cdot a \cdot a$

Passaggio 2.3.9

Semplifica $a \cdot a \cdot a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a^{2} \cdot a$

Passaggio 2.3.9.2

Moltiplica $a^{2}$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.2.1

Moltiplica $a^{2}$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.2.1.1

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$a^{2} \cdot a^{1}$

Passaggio 2.3.9.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a^{2 + 1}$

Passaggio 2.3.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$a^{3}$

Passaggio 2.3.10

Il minimo comune multiplo di $a^{3}, 64$ è la parte numerica $64$ moltiplicata per la parte variabile.

$64 a^{3}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $64 a^{3}$ ciascun termine in $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ per $64 a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} (64 a^{3}) = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$64 \frac{1}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Passaggio 2.4.2.2

$64$ e $\frac{1}{a^{3}}$ .

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Passaggio 2.4.2.3

Elimina il fattore comune di $a^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Passaggio 2.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Scomponi $64$ da $64 a^{3}$ .

$64 = \frac{343}{64} (64 (a^{3}))$

Passaggio 2.4.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Passaggio 2.4.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$64 = 343 a^{3}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $343 a^{3} = 64$ .

$343 a^{3} = 64$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$343 a^{3} - 64 = 0$

Passaggio 2.5.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Riscrivi $343 a^{3}$ come ${(7 a)}^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 64 = 0$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 4^{3} = 0$

Passaggio 2.5.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 7 a$ e $b = 4$ .

$(7 a - 4) ({(7 a)}^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.5.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $7 a$ .

$(7 a - 4) (7^{2} a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.5.3.4.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.5.3.4.3

Moltiplica $4$ per $7$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.5.3.4.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$

Passaggio 2.5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$7 a - 4 = 0$

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Passaggio 2.5.5

Imposta $7 a - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Imposta $7 a - 4$ uguale a $0$ .

$7 a - 4 = 0$

Passaggio 2.5.5.2

Risolvi $7 a - 4 = 0$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 a = 4$

Passaggio 2.5.5.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 a = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 a = 4$ .

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Passaggio 2.5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Passaggio 2.5.5.2.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{4}{7}$

Passaggio 2.5.6

Imposta $49 a^{2} + 28 a + 16$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Imposta $49 a^{2} + 28 a + 16$ uguale a $0$ .

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Passaggio 2.5.6.2

Risolvi $49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 49$ , $b = 28$ e $c = 16$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 16)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.1

Eleva $28$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 196$ per $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.3

Sottrai $3136$ da $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 2352$ come $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2352)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.7

Riscrivi $2352$ come $28^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.7.1

Scomponi $784$ da $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $784$ come $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.9

Sposta $28$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Passaggio 2.5.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.1

Eleva $28$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 196$ per $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.3

Sottrai $3136$ da $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 2352$ come $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2352)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.7

Riscrivi $2352$ come $28^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.7.1

Scomponi $784$ da $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $784$ come $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.9

Sposta $28$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Passaggio 2.5.6.2.4.3

Semplifica $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{- 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.4.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (- 2 i \sqrt{3})}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - (- 2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 - 2 i \sqrt{3})}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.1

Eleva $28$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 196$ per $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.3

Sottrai $3136$ da $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 2352$ come $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2352)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.7

Riscrivi $2352$ come $28^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.7.1

Scomponi $784$ da $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $784$ come $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.9

Sposta $28$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Passaggio 2.5.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Passaggio 2.5.6.2.5.3

Semplifica $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{- 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.5.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (2 i \sqrt{3})}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - (2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 + 2 i \sqrt{3})}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$ vera.

$a = \frac{4}{7}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Passaggio 2.6

Rimuovi tutti i valori che contengono componenti immaginari.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Non ci sono componenti immaginari. Aggiungi $\frac{4}{7}$ alla risposta finale.

$\frac{4}{7}$ è un numero reale

Passaggio 2.6.2

La lettera $i$ rappresenta un componente immaginario e non è un numero reale. Non aggiungere $- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ alla risposta finale.

$- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ non è un numero reale

Passaggio 2.6.3

La lettera $i$ rappresenta un componente immaginario e non è un numero reale. Non aggiungere $- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ alla risposta finale.

$- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ non è un numero reale

Passaggio 2.6.4

La risposta finale è l'elenco di valori che non contengono componenti immaginari.

$a = \frac{4}{7}$

Passaggio 3

Sostituisci nuovamente ogni valore per $a$ nella funzione $f (x) = a^{x}$ per trovare ogni funzione esponenziale possibile.

$f (x) = {(\frac{4}{7})}^{x}$