Algebra Esempi

$f (x) = - 2 x^{4} + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 2 x + 8$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$f (x) = - 2 x^{4} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Passaggio 2

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{4} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{4}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 2 x$ da $2 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} - 2 x \cdot - 1 + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Passaggio 2.3

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x (x^{3}) - 2 x (- 1)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1^{3}) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Passaggio 4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - i^{3} = (a - i) (a^{2} + a i + i^{2})$ dove $a = x$ e $i = 1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Passaggio 5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Passaggio 5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Passaggio 5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Passaggio 6

Scomponi $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 13$

Passaggio 6.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{076923}, \pm 8, \pm 0.\overline{615384}, \pm 2, \pm 0.\overline{153846}, \pm 4, \pm 0.\overline{307692}$

Passaggio 6.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$f (x) = 13 \cdot 1^{3} - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Passaggio 6.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$f (x) = 13 \cdot 1 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $13$ per $1$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Passaggio 6.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1 + 8$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $- 21$ per $1$ .

$f (x) = 13 - 21 + 8$

Passaggio 6.3.6

Sottrai $21$ da $13$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Passaggio 6.3.7

Somma $- 8$ e $8$ .

$f (x) = 0$

Passaggio 6.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$f (x) = \frac{13 x^{3} - 21 x^{2} + 8}{x - 1}$

Passaggio 6.5

Dividi $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$f (x) =$

Passaggio 6.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $13 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 6.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $13 x^{3} - 13 x^{2}$

$f (x) =$

Passaggio 6.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 6.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 6.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 6.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 6.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} + 8 x$

$f (x) =$

Passaggio 6.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 6.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 6.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 6.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 6.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x + 8$

$f (x) =$

Passaggio 6.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 6.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$f (x) = 13 x^{2} - 8 x - 8$

Passaggio 6.6

Scrivi $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ come insieme di fattori.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 7

Scomponi $x - 1$ da $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $x - 1$ da $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 7.2

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1) + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 8

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 9.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 9.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 9.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sposta $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Passaggio 10

Somma $- 2 x^{2}$ e $13 x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 2 x - 8 x - 8)$

Passaggio 11

Sottrai $8 x$ da $- 2 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8)$

Passaggio 12

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scomponi $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 12.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 12.1.1.3

Sostituisci $- 0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Sostituisci $- 0.5$ nel polinomio.

$f (x) = - 2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Passaggio 12.1.1.3.2

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$f (x) = - 2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Passaggio 12.1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 0.125$ .

$f (x) = 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Passaggio 12.1.1.3.4

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$f (x) = 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Passaggio 12.1.1.3.5

Moltiplica $11$ per $0.25$ .

$f (x) = 0.25 + 2.75 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Passaggio 12.1.1.3.6

Somma $0.25$ e $2.75$ .

$f (x) = 3 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Passaggio 12.1.1.3.7

Moltiplica $- 10$ per $- 0.5$ .

$f (x) = 3 + 5 - 8$

Passaggio 12.1.1.3.8

Somma $3$ e $5$ .

$f (x) = 8 - 8$

Passaggio 12.1.1.3.9

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (x) = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Poiché $- 0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$f (x) = \frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8}{2 x + 1}$

Passaggio 12.1.1.5

Dividi $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ per $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x^{2} + 6 x$

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 16 x - 8$

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$f (x) = - x^{2} + 6 x - 8$

Passaggio 12.1.1.6

Scrivi $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ come insieme di fattori.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 x - 8))$

Passaggio 12.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + i x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ e la cui somma è $i = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1.1.1

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 (x) - 8))$

Passaggio 12.1.2.1.1.2

Riscrivi $6$ come $2$ più $4$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8))$

Passaggio 12.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8))$

Passaggio 12.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8))$

Passaggio 12.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)))$

Passaggio 12.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x + 2) (x - 4)))$

Passaggio 12.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x + 2) (x - 4))$

Passaggio 12.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (x - 1) (2 x + 1) (- x + 2) (x - 4)$