Algebra Esempi

$3 x + 6 y + 6 z = 12$ , $- 3 x - 6 y - 6 z = - 12$ , $5 x + 10 y + 10 z = 20$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ - 12 \\ 20 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova il determinante della matrice del coefficiente $[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scrivi $[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}]$ in notazione del determinante.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 2.2.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.9

Somma i termini.

$3 | \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (- 6 \cdot 10 - 10 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $- 6$ per $10$ .

$3 (- 60 - 10 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $- 10$ per $- 6$ .

$3 (- 60 + 60) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 60$ e $60$ .

$3 \cdot 0 - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 3 \cdot 10 - 5 \cdot - 6) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $10$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 30 - 5 \cdot - 6) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $- 6$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 30 + 30) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $- 30$ e $30$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.5

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 3 \cdot 10 - 5 \cdot - 6)$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $10$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 30 - 5 \cdot - 6)$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $- 6$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 30 + 30)$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $- 30$ e $30$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 0 + 6 \cdot 0$

Passaggio 2.6.1.3

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 2.6.3

Somma $0$ e $0$ .

$0$

$D = 0$

Passaggio 3

Poiché il determinante è $0$ , il sistema non può essere risolto usando la Regola di Cramer.