Algebra Esempi

$f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

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Passaggio 1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot 16}]$

Passaggio 1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 (4))}]$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 \cdot 4)}]$

Passaggio 1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{x \cdot 4}]$

Passaggio 1.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = {1.25}^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $1.25$ .

${1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \cdot 4$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di ${1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ .

$f' (x) = 4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $4 \ln (1.25)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ rispetto a $x$ è $4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$ .

$4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = {1.25}^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$4 \ln (1.25) (\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $1.25$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.3

Eleva $\ln (1.25)$ alla potenza di $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.4

Eleva $\ln (1.25)$ alla potenza di $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln^{1} (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 ({1.25}^{4 x} {\ln (1.25)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \cdot 1$

Passaggio 2.10

Moltiplica $16$ per $1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$ .

$16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$