Algebra Esempi

$y = \sqrt[3]{x + 1}$ ; $[- 1, 7]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sqrt[3]{x + 1} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\sqrt[3]{x + 1} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x + 1}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Semplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Semplifica.

$x + 1 = 0^{3}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(- 1, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x - \int_{- 1}^{7} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $7$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $\sqrt[3]{x + 1}$ .

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x$

Passaggio 3.3

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.3.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = - 1 + 1$

Passaggio 3.3.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Passaggio 3.3.5

Somma $7$ e $1$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 3.3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Passaggio 3.6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Calcola $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ per $8$ e per $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 3.6.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.5

$\frac{3}{4}$ e $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.6

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.7

Elimina il fattore comune di $48$ e $4$ .

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Passaggio 3.6.2.7.1

Scomponi $4$ da $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.7.2.4

Dividi $12$ per $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.8

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.6.2.9

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Passaggio 3.6.2.10

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.6.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Passaggio 3.6.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.6.2.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

Passaggio 3.6.2.12

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

Passaggio 3.6.2.13

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{4}$ .

$12 + 0$

Passaggio 3.6.2.14

Somma $12$ e $0$ .

$12$

Passaggio 4