Algebra Esempi

$f (x) = 6 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 1$ , $[0, 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 4 x + 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 4 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 4 x + 5 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 4 x + 5 + 0$

Passaggio 1.1.1.5.2

Somma $24 x^{3} - 4 x + 5$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 4 x + 5$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{3} - 4 x + 5$ .

$24 x^{3} - 4 x + 5$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $24 x^{3} - 4 x + 5 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$24 x^{3} - 4 x + 5 = 0$

Passaggio 1.2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 0.68586971$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $6 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = - 0.68586971$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $x$ per $- 0.68586971$ .

$6 {(- 0.68586971)}^{4} - 2 {(- 0.68586971)}^{2} + 5 (- 0.68586971) - 1$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $- 0.68586971$ alla potenza di $4$ .

$6 \cdot 0.2212924 - 2 {(- 0.68586971)}^{2} + 5 (- 0.68586971) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0.2212924$ .

$1.3277544 - 2 {(- 0.68586971)}^{2} + 5 (- 0.68586971) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Eleva $- 0.68586971$ alla potenza di $2$ .

$1.3277544 - 2 \cdot 0.47041726 + 5 (- 0.68586971) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0.47041726$ .

$1.3277544 - 0.94083452 + 5 (- 0.68586971) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.5

Moltiplica $5$ per $- 0.68586971$ .

$1.3277544 - 0.94083452 - 3.42934856 - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 1.4.1.2.2.1

Sottrai $0.94083452$ da $1.3277544$ .

$0.38691987 - 3.42934856 - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Sottrai $3.42934856$ da $0.38691987$ .

$- 3.04242868 - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2.3

Sottrai $1$ da $- 3.04242868$ .

$- 4.04242868$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(- 0.68586971, - 4.04242868)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 3.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$6 {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$6 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 5 (0) - 1$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 0 + 5 (0) - 1$

Passaggio 3.1.2.1.5

Moltiplica $5$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 - 1$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 1$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 1$

Passaggio 3.1.2.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$6 {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2} + 5 (1) - 1$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 \cdot 1 - 2 {(1)}^{2} + 5 (1) - 1$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 - 2 {(1)}^{2} + 5 (1) - 1$

Passaggio 3.2.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 - 2 \cdot 1 + 5 (1) - 1$

Passaggio 3.2.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$6 - 2 + 5 (1) - 1$

Passaggio 3.2.2.1.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$6 - 2 + 5 - 1$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Sottrai $2$ da $6$ .

$4 + 5 - 1$

Passaggio 3.2.2.2.2

Somma $4$ e $5$ .

$9 - 1$

Passaggio 3.2.2.2.3

Sottrai $1$ da $9$ .

$8$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(0, - 1), (1, 8)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, 8)$

Minimo assoluto: $(0, - 1)$

Passaggio 5