Algebra Esempi

$r = 8 \sin (θ) - 2 \cos (θ)$

Passaggio 1

Poiché $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , sostituisci $\sin (θ)$ con $\frac{y}{r}$ .

$r = 8 \frac{y}{r} - 2 \cos (θ)$

Passaggio 2

Poiché $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , sostituisci $\cos (θ)$ con $\frac{x}{r}$ .

$r = 8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni lato per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni lato per $r$ .

$r \cdot r = r (8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $r$ per $r$ .

$r^{2} = r (8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r})$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $r (8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

$8$ e $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{8 y}{r} - 2 \frac{x}{r})$

Passaggio 3.3.1.1.2

$- 2$ e $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{8 y}{r} + \frac{- 2 x}{r})$

Passaggio 3.3.1.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r^{2} = r (\frac{8 y}{r} - \frac{2 x}{r})$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$r^{2} = r \frac{8 y}{r} + r (- \frac{2 x}{r})$

Passaggio 3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$r^{2} = r \frac{8 y}{r} + r (- \frac{2 x}{r})$

Passaggio 3.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$r^{2} = 8 y + r (- \frac{2 x}{r})$

Passaggio 3.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$r^{2} = 8 y - r \frac{2 x}{r}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune di $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Scomponi $r$ da $- r$ .

$r^{2} = 8 y + r \cdot - 1 \frac{2 x}{r}$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$r^{2} = 8 y + r \cdot - 1 \frac{2 x}{r}$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$r^{2} = 8 y - (2 x)$

Passaggio 3.3.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$r^{2} = 8 y - 2 x$

Passaggio 4

Poiché $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , sostituisci $r^{2}$ con $x^{2} + y^{2}$ e $r$ con $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 8 y - 2 x$

Passaggio 5

Scrivi in forma standard.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $8 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + y^{2} - 8 y = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + y^{2} - 8 y + 2 x = 0$

Passaggio 5.1.3

Sposta $- 8 y$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$

Passaggio 5.2

Completa il quadrato per $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 5.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 5.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 5.2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 5.2.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 0 - 1$

Passaggio 5.2.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 5.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Passaggio 5.3

Sostituisci ${(x + 1)}^{2} - 1$ a $x^{2} + 2 x$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 8 y = 0$

Passaggio 5.4

Sposta $- 1$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $1$ a entrambi i lati.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - 8 y = 0 + 1$

Passaggio 5.5

Completa il quadrato per $y^{2} - 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Passaggio 5.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.3.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Passaggio 5.5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 4}{1}$

Passaggio 5.5.3.2.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$d = - 4$

Passaggio 5.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Passaggio 5.5.4.2.1.3

Dividi $64$ per $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Passaggio 5.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$e = 0 - 16$

Passaggio 5.5.4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$e = - 16$

Passaggio 5.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Passaggio 5.6

Sostituisci ${(y - 4)}^{2} - 16$ a $y^{2} - 8 y$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = 0 + 1$

Passaggio 5.7

Sposta $- 16$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $16$ a entrambi i lati.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 0 + 1 + 16$

Passaggio 5.8

Semplifica $0 + 1 + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Somma $0$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1 + 16$

Passaggio 5.8.2

Somma $1$ e $16$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 17$