Algebra Esempi

$g (x) = e^{x} + e^{- 3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- 3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$e^{x} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$e^{x} + e^{- 3 x} \cdot - 3$

Passaggio 1.3.5

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 3 x}$ .

$e^{x} - 3 e^{- 3 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 3 e^{- 3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- 3 x}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- 3 x})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$g'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- 3 x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- 3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 e^{- 3 x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$g'' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- 3 x}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 x$ .

$g'' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$g'' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$g'' (x) = e^{x} - 3 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = e^{x} - 3 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (x) = e^{x} - 3 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$g'' (x) = e^{x} - 3 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 3 x}$ .

$g'' (x) = e^{x} - 3 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$g'' (x) = e^{x} + 9 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$g'' (x) = 9 e^{- 3 x} + e^{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$e^{x} - 3 e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- 3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 3 x})$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- 3 x})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 x$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Passaggio 4.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Passaggio 4.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 3 x} \cdot - 3$

Passaggio 4.1.3.5

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 e^{- 3 x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $e^{x} - 3 e^{- 3 x}$ .

$e^{x} - 3 e^{- 3 x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{x} - 3 e^{- 3 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{x} - 3 e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 5.2

Sposta $- 3 e^{- 3 x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$e^{x} = 3 e^{- 3 x}$

Passaggio 5.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3 e^{- 3 x})$

Passaggio 5.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3 e^{- 3 x})$

Passaggio 5.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3 e^{- 3 x})$

Passaggio 5.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (3 e^{- 3 x})$

Passaggio 5.5

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\ln (3 e^{- 3 x})$ come $\ln (3) + \ln (e^{- 3 x})$ .

$x = \ln (3) + \ln (e^{- 3 x})$

Passaggio 5.5.2

Espandi $\ln (e^{- 3 x})$ spostando $- 3 x$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (3) - 3 x \ln (e)$

Passaggio 5.5.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x = \ln (3) - 3 x \cdot 1$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$x = \ln (3) - 3 x$

Passaggio 5.6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Somma $3 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + 3 x = \ln (3)$

Passaggio 5.6.2

Somma $x$ e $3 x$ .

$4 x = \ln (3)$

Passaggio 5.7

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \ln (3)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \ln (3)$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\ln (3)}{4}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\ln (3)}{4}$

Passaggio 5.7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{4}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{\ln (3)}{4}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\ln (3)}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$9 e^{- 3 \frac{\ln (3)}{4}} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$9 e^{- 3 (\frac{1}{4} \ln (3))} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$9 e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9.3

Semplifica $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$9 e^{\ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3})} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9.5

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9.5.2

$\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

$9 \cdot 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 \cdot 3^{- \frac{3}{4}} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9.7

$9$ e $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\frac{\ln (3)}{4}}$

Passaggio 9.8

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\frac{1}{4} \ln (3)}$

Passaggio 9.9

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 9.10

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 10

$x = \frac{\ln (3)}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{\ln (3)}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{\ln (3)}{4}$ .

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Passaggio 11.1

Simplify $\frac{\ln (3)}{4}$ to substitute in $g (x) = e^{x} + e^{- 3 x}$ .

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Passaggio 11.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot \ln (3)$

Passaggio 11.1.2

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln (3^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 11.2

Sostituisci la variabile $x$ con $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ nell'espressione.

$g (\ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 11.3

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$g (\ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4}} + e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 11.3.1.2

Semplifica $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$g (\ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4}} + e^{\ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3})}$

Passaggio 11.3.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$g (\ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4}} + {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$

Passaggio 11.3.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3}$

Passaggio 11.3.1.4.2

$\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

$g (\ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{- 3}{4}}$

Passaggio 11.3.1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (\ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4}} + 3^{- \frac{3}{4}}$

Passaggio 11.3.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (\ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 11.3.2

La risposta finale è $3^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $g (x) = e^{x} + e^{- 3 x}$ .

$(\frac{\ln (3)}{4}, 3^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}})$ è un minimo locale

Passaggio 13