Algebra Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3.3

$2$ e $\frac{3}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3.5

$\frac{6}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.3.6.2.4

Dividi $3 x$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $x^{2} + 3 x + 8$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 + 0$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 3$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x + 3$ .

$2 x + 3$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 x + 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 3$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \frac{3}{2}$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{27}{2^{3}}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{27}{8}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{27}{8}$ nel numeratore.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{- 27}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.5.2

Scomponi $3$ da $- 27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (- 9)}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 9}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.9

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.10

Combina.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3 \cdot 3^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.11

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.11.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.11.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3 \cdot 3^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.11.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{1 + 2}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.11.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.12

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.12.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.12.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.12.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{3}}{2^{1 + 2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.12.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{3}}{2^{3}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.13

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{2^{3}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.14

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.15.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 8 (\frac{- 3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.15.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 2 (4) (\frac{- 3}{2}) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.15.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 2 \cdot (4 (\frac{- 3}{2})) - 4$

Passaggio 3.1.2.1.15.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 4 \cdot - 3 - 4$

Passaggio 3.1.2.1.16

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} - 12 - 4$

Passaggio 3.1.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{3}{2}) = - 12 - 4 + \frac{- 9 + 27}{8}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $- 9$ e $27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 12 - 4 + \frac{18}{8}$

Passaggio 3.1.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Scrivi $- 12$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12}{1} - 4 + \frac{18}{8}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{- 12}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12}{1} \cdot \frac{8}{8} - 4 + \frac{18}{8}$

Passaggio 3.1.2.3.3

Moltiplica $\frac{- 12}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8}{8} - 4 + \frac{18}{8}$

Passaggio 3.1.2.3.4

Scrivi $- 4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{1} + \frac{18}{8}$

Passaggio 3.1.2.3.5

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{18}{8}$

Passaggio 3.1.2.3.6

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{18}{8}$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8 - 4 \cdot 8 + 18}{8}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 96 - 4 \cdot 8 + 18}{8}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 96 - 32 + 18}{8}$

Passaggio 3.1.2.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Sottrai $32$ da $- 96$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 128 + 18}{8}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Somma $- 128$ e $18$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 110}{8}$

Passaggio 3.1.2.6.3

Elimina il fattore comune di $- 110$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.3.1

Scomponi $2$ da $- 110$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{2 (- 55)}{8}$

Passaggio 3.1.2.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.3.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{2 \cdot - 55}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.2.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{2 \cdot - 55}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.2.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 55}{4}$

Passaggio 3.1.2.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{55}{4}$

Passaggio 3.1.2.7

La risposta finale è $- \frac{55}{4}$ .

$- \frac{55}{4}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{3}{2}$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ è $(- \frac{3}{2}, - \frac{55}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{55}{4})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{3}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.6$ nell'espressione.

$f'' (- 1.6) = 2 (- 1.6) + 3$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 3.2 + 3$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 3.2$ e $3$ .

$f'' (- 1.6) = - 0.2$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.2$ .

$- 0.2$

Passaggio 5.3

Per $- 1.6$ , la derivata seconda è $- 0.2$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{3}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{3}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.4$ nell'espressione.

$f'' (- 1.4) = 2 (- 1.4) + 3$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1.4$ .

$f'' (- 1.4) = - 2.8 + 3$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 2.8$ e $3$ .

$f'' (- 1.4) = 0.2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.2$ .

$0.2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 1.4$ , la derivata seconda è $0.2$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{3}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{3}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- \frac{3}{2}, - \frac{55}{4})$ .

$(- \frac{3}{2}, - \frac{55}{4})$

Passaggio 8