Algebra Esempi

$2 + \frac{4}{5} + \frac{8}{25} + \frac{16}{125}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{2}{5}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{2}{5}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori di $a_{1} = 2$ e $r = \frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5

Moltiplica $2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$2$ e $\frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $2^{n - 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{n} = \frac{2^{1 + n - 1}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5.2.2

Combina i termini opposti in $1 + n - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 0}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $n$ e $0$ .

$a_{n} = \frac{2^{n}}{5^{n - 1}}$

Passaggio 6

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 7

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{4}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{5})}^{4} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{2^{4}}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 8.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 8.3

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 8.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1 \cdot \frac{625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 8.5

$- 1$ e $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} + \frac{- 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 8.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 8.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Moltiplica $- 1$ per $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 8.7.2

Sottrai $625$ da $16$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{- 609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 8.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Passaggio 9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Passaggio 9.2

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Passaggio 9.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Passaggio 9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 5}{5}}$

Passaggio 9.4.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{- 3}{5}}$

Passaggio 9.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{- \frac{3}{5}}$

Passaggio 10

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{609}{625}}{\frac{3}{5}}$

Passaggio 11

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{609}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Scomponi $3$ da $609$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 (203)}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 203}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{625} \cdot 5)$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi $5$ da $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 (125)} \cdot 5)$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 \cdot 125} \cdot 5)$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{203}{125}$

Passaggio 14

Moltiplica $2 (\frac{203}{125})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$2$ e $\frac{203}{125}$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot 203}{125}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $2$ per $203$ .

$S_{4} = \frac{406}{125}$