Algebra Esempi

$30$ , $- 10$ , $\frac{10}{3}$ , $- \frac{10}{9}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $- \frac{1}{3}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori di $a_{1} = 30$ e $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1})$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}})$

Passaggio 5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}})$

Passaggio 6

${(- 1)}^{n - 1}$ e $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = 30 \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Passaggio 7

$30$ e $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{30 {(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Passaggio 8

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 9

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{5}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}}) - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{3^{5}} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.4

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{243} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.6

$- 1$ e $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 243}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.8.1

Moltiplica $- 1$ per $243$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 1 - 243}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.8.2

Sottrai $243$ da $- 1$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 244}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 10.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 11.2

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 11.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{\frac{- 1 - 3}{3}}$

Passaggio 11.4.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{\frac{- 4}{3}}$

Passaggio 11.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{- \frac{4}{3}}$

Passaggio 12

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{244}{243}}{\frac{4}{3}}$

Passaggio 13

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4})$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi $4$ da $244$ .

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{4 (61)}{243} \cdot \frac{3}{4})$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{4 \cdot 61}{243} \cdot \frac{3}{4})$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{61}{243} \cdot 3)$

Passaggio 15

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Scomponi $3$ da $243$ .

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{61}{3 (81)} \cdot 3)$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{61}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{61}{81}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Scomponi $3$ da $30$ .

$S_{5} = 3 (10) \cdot \frac{61}{81}$

Passaggio 16.2

Scomponi $3$ da $81$ .

$S_{5} = 3 \cdot 10 \cdot \frac{61}{3 \cdot 27}$

Passaggio 16.3

Elimina il fattore comune.

$S_{5} = 3 \cdot 10 \cdot \frac{61}{3 \cdot 27}$

Passaggio 16.4

Riscrivi l'espressione.

$S_{5} = 10 \cdot \frac{61}{27}$

Passaggio 17

$10$ e $\frac{61}{27}$ .

$S_{5} = \frac{10 \cdot 61}{27}$

Passaggio 18

Moltiplica $10$ per $61$ .

$S_{5} = \frac{610}{27}$