Algebra Esempi

$4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$

Passaggio 1

Scrivi $4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$ come funzione.

$f (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$16 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 + 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$ e $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16 + 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $48 x^{2} + 12 x - 16$ e $0$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 16$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.5.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 5.1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 + 0$

Passaggio 5.1.6.2

Somma $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 1.04556446, - 0.30604123, 0.9766057$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - 1.04556446, - 0.30604123, 0.9766057$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - 1.04556446$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$48 {(- 1.04556446)}^{2} + 12 (- 1.04556446) - 16$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $- 1.04556446$ alla potenza di $2$ .

$48 \cdot 1.09320505 + 12 (- 1.04556446) - 16$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $48$ per $1.09320505$ .

$52.47384277 + 12 (- 1.04556446) - 16$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $12$ per $- 1.04556446$ .

$52.47384277 - 12.54677362 - 16$

Passaggio 10.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $12.54677362$ da $52.47384277$ .

$39.92706915 - 16$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $16$ da $39.92706915$ .

$23.92706915$

Passaggio 11

$x = - 1.04556446$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1.04556446$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - 1.04556446$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.04556446$ nell'espressione.

$f (- 1.04556446) = 4 {(- 1.04556446)}^{4} + 2 {(- 1.04556446)}^{3} - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $- 1.04556446$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1.04556446) = 4 \cdot 1.19509729 + 2 {(- 1.04556446)}^{3} - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1.19509729$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 + 2 {(- 1.04556446)}^{3} - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Passaggio 12.2.1.3

Eleva $- 1.04556446$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 + 2 \cdot - 1.14301636 - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1.14301636$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 - 2.28603273 - 8 {(- 1.04556446)}^{2} - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Passaggio 12.2.1.5

Eleva $- 1.04556446$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 - 2.28603273 - 8 \cdot 1.09320505 - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Passaggio 12.2.1.6

Moltiplica $- 8$ per $1.09320505$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 - 2.28603273 - 8.74564046 - 5 \cdot - 1.04556446 + 2$

Passaggio 12.2.1.7

Moltiplica $- 5$ per $- 1.04556446$ .

$f (- 1.04556446) = 4.78038919 - 2.28603273 - 8.74564046 + 5.22782234 + 2$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Sottrai $2.28603273$ da $4.78038919$ .

$f (- 1.04556446) = 2.49435646 - 8.74564046 + 5.22782234 + 2$

Passaggio 12.2.2.2

Sottrai $8.74564046$ da $2.49435646$ .

$f (- 1.04556446) = - 6.25128399 + 5.22782234 + 2$

Passaggio 12.2.2.3

Somma $- 6.25128399$ e $5.22782234$ .

$f (- 1.04556446) = - 1.02346165 + 2$

Passaggio 12.2.2.4

Somma $- 1.02346165$ e $2$ .

$f (- 1.04556446) = 0.97653834$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $0.97653834$ .

$y = 0.97653834$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 0.30604123$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$48 {(- 0.30604123)}^{2} + 12 (- 0.30604123) - 16$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 0.30604123$ alla potenza di $2$ .

$48 \cdot 0.09366123 + 12 (- 0.30604123) - 16$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $48$ per $0.09366123$ .

$4.49573945 + 12 (- 0.30604123) - 16$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $12$ per $- 0.30604123$ .

$4.49573945 - 3.67249484 - 16$

Passaggio 14.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $3.67249484$ da $4.49573945$ .

$0.82324461 - 16$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $16$ da $0.82324461$ .

$- 15.17675538$

Passaggio 15

$x = - 0.30604123$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 0.30604123$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 0.30604123$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.30604123$ nell'espressione.

$f (- 0.30604123) = 4 {(- 0.30604123)}^{4} + 2 {(- 0.30604123)}^{3} - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Eleva $- 0.30604123$ alla potenza di $4$ .

$f (- 0.30604123) = 4 \cdot 0.00877242 + 2 {(- 0.30604123)}^{3} - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Passaggio 16.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0.00877242$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 + 2 {(- 0.30604123)}^{3} - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Passaggio 16.2.1.3

Eleva $- 0.30604123$ alla potenza di $3$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 + 2 \cdot - 0.0286642 - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 0.0286642$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 - 0.0573284 - 8 {(- 0.30604123)}^{2} - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Passaggio 16.2.1.5

Eleva $- 0.30604123$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 - 0.0573284 - 8 \cdot 0.09366123 - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Passaggio 16.2.1.6

Moltiplica $- 8$ per $0.09366123$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 - 0.0573284 - 0.7492899 - 5 \cdot - 0.30604123 + 2$

Passaggio 16.2.1.7

Moltiplica $- 5$ per $- 0.30604123$ .

$f (- 0.30604123) = 0.03508971 - 0.0573284 - 0.7492899 + 1.53020618 + 2$

Passaggio 16.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Sottrai $0.0573284$ da $0.03508971$ .

$f (- 0.30604123) = - 0.02223869 - 0.7492899 + 1.53020618 + 2$

Passaggio 16.2.2.2

Sottrai $0.7492899$ da $- 0.02223869$ .

$f (- 0.30604123) = - 0.7715286 + 1.53020618 + 2$

Passaggio 16.2.2.3

Somma $- 0.7715286$ e $1.53020618$ .

$f (- 0.30604123) = 0.75867758 + 2$

Passaggio 16.2.2.4

Somma $0.75867758$ e $2$ .

$f (- 0.30604123) = 2.75867758$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $2.75867758$ .

$y = 2.75867758$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = 0.9766057$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$48 {(0.9766057)}^{2} + 12 (0.9766057) - 16$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Eleva $0.9766057$ alla potenza di $2$ .

$48 \cdot 0.9537587 + 12 (0.9766057) - 16$

Passaggio 18.1.2

Moltiplica $48$ per $0.9537587$ .

$45.78041777 + 12 (0.9766057) - 16$

Passaggio 18.1.3

Moltiplica $12$ per $0.9766057$ .

$45.78041777 + 11.71926846 - 16$

Passaggio 18.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Somma $45.78041777$ e $11.71926846$ .

$57.49968623 - 16$

Passaggio 18.2.2

Sottrai $16$ da $57.49968623$ .

$41.49968623$

Passaggio 19

$x = 0.9766057$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.9766057$ è un minimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = 0.9766057$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.9766057$ nell'espressione.

$f (0.9766057) = 4 {(0.9766057)}^{4} + 2 {(0.9766057)}^{3} - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Eleva $0.9766057$ alla potenza di $4$ .

$f (0.9766057) = 4 \cdot 0.90965566 + 2 {(0.9766057)}^{3} - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Passaggio 20.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0.90965566$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 2 {(0.9766057)}^{3} - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Passaggio 20.2.1.3

Eleva $0.9766057$ alla potenza di $3$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 2 \cdot 0.93144619 - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Passaggio 20.2.1.4

Moltiplica $2$ per $0.93144619$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 1.86289238 - 8 {(0.9766057)}^{2} - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Passaggio 20.2.1.5

Eleva $0.9766057$ alla potenza di $2$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 1.86289238 - 8 \cdot 0.9537587 - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Passaggio 20.2.1.6

Moltiplica $- 8$ per $0.9537587$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 1.86289238 - 7.63006962 - 5 \cdot 0.9766057 + 2$

Passaggio 20.2.1.7

Moltiplica $- 5$ per $0.9766057$ .

$f (0.9766057) = 3.63862265 + 1.86289238 - 7.63006962 - 4.88302852 + 2$

Passaggio 20.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1

Somma $3.63862265$ e $1.86289238$ .

$f (0.9766057) = 5.50151504 - 7.63006962 - 4.88302852 + 2$

Passaggio 20.2.2.2

Sottrai $7.63006962$ da $5.50151504$ .

$f (0.9766057) = - 2.12855458 - 4.88302852 + 2$

Passaggio 20.2.2.3

Sottrai $4.88302852$ da $- 2.12855458$ .

$f (0.9766057) = - 7.01158311 + 2$

Passaggio 20.2.2.4

Somma $- 7.01158311$ e $2$ .

$f (0.9766057) = - 5.01158311$

Passaggio 20.2.3

La risposta finale è $- 5.01158311$ .

$y = - 5.01158311$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 2$ .

$(- 1.04556446, 0.97653834)$ è un minimo locale

$(- 0.30604123, 2.75867758)$ è un massimo locale

$(0.9766057, - 5.01158311)$ è un minimo locale

Passaggio 22