Algebra Esempi

$\frac{10 x^{3} - 25 x}{5 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 10 x^{3} - 25 x$ e $g (x) = 5 x$ .

$\frac{5 x \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 25 x] - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x^{3} - 25 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

$\frac{5 x (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{3}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5 x (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{5 x (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $10$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25 x$ rispetto a $x$ è $- 25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25 \frac{d}{d x} [x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25 \cdot 1) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 25$ per $1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) (5 \cdot 1)}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{{(5 x)}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la regola del prodotto a $5 x$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 + (- (10 x^{3}) - (- 25 x)) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{5 \cdot 30 x \cdot x^{2} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.5.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 6.5.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x^{1}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \cdot 30 x^{2 + 1} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 x^{3} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.3

Moltiplica $5$ per $30$ .

$\frac{150 x^{3} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.4

Moltiplica $- 25$ per $5$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.5

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 10 x^{3} \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.6

Moltiplica $5$ per $- 10$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.7

Moltiplica $- 25$ per $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 25 x \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.1.8

Moltiplica $5$ per $25$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 125 x}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.2

Combina i termini opposti in $150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 125 x$ .

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Passaggio 6.5.2.1

Somma $- 125 x$ e $125 x$ .

$\frac{150 x^{3} - 50 x^{3} + 0}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $150 x^{3} - 50 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{150 x^{3} - 50 x^{3}}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.5.3

Sottrai $50 x^{3}$ da $150 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{3}}{5^{2} x^{2}}$

Passaggio 6.6

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.6.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{100 x^{3}}{25 x^{2}}$

Passaggio 6.6.2

Elimina il fattore comune di $100$ e $25$ .

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Passaggio 6.6.2.1

Scomponi $25$ da $100 x^{3}$ .

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 x^{2}}$

Passaggio 6.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.6.2.2.1

Scomponi $25$ da $25 x^{2}$ .

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 (x^{2})}$

Passaggio 6.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 x^{2}}$

Passaggio 6.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 6.6.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 6.6.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2}}$

Passaggio 6.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.6.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1}$

Passaggio 6.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1}$

Passaggio 6.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x}{1}$

Passaggio 6.6.3.2.4

Dividi $4 x$ per $1$ .

$4 x$