Algebra Esempi

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

Passaggio 1

Imposta l'equazione parametrica per $x (t)$ per risolvere l'equazione per $t$ .

$x = h + r \cos (t)$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione come $h + r \cos (t) = x$ .

$h + r \cos (t) = x$

Passaggio 3

Sottrai $h$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r \cos (t) = x - h$

Passaggio 4

Dividi per $r$ ciascun termine in $r \cos (t) = x - h$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $r$ ciascun termine in $r \cos (t) = x - h$ .

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\cos (t)$ per $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

Passaggio 6

Sostituisci $t$ nell'equazione per $y$ per ottenere l'equazione in termini di $x$ .

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Passaggio 7

Rimuovi le parentesi.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Passaggio 8

Semplifica $k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ , $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ è $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ .

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Passaggio 8.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

Passaggio 8.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.4.2

Moltiplica $- - \frac{h}{r}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.4.2.2

Moltiplica $\frac{h}{r}$ per $1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.8.1

Sposta $x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.8.2

Riordina $r$ e $- h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.9

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

Passaggio 8.1.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Passaggio 8.1.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.12.1

Sposta $- x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

Passaggio 8.1.12.2

Riordina $r$ e $h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

Passaggio 8.1.13

Moltiplica $\frac{- h + r + x}{r}$ per $\frac{h + r - x}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

Passaggio 8.1.14

Moltiplica $r$ per $r$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

Passaggio 8.1.15

Riscrivi $\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ come ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.15.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(- h + r + x) (h + r - x)$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

Passaggio 8.1.15.2

Scomponi la potenza perfetta $r^{2}$ su $r^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 8.1.15.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

Passaggio 8.1.16

Estrai i termini dal radicale.

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

Passaggio 8.1.17

$\frac{1}{r}$ e $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Passaggio 8.1.18

Elimina il fattore comune di $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.18.1

Elimina il fattore comune.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Passaggio 8.1.18.2

Riscrivi l'espressione.

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

Passaggio 8.2

Riordina $k$ e $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$