Algebra Esempi

$y = - x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$

Passaggio 1

Scrivi $y = - x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$ come funzione.

$f (x) = - x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{3}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 x^{3} + 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $24$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 214 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 214$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 214 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 214 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 214 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 214 (2 x) + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 214$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + \frac{d}{d x} [840 x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [840 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $840$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $840 x$ rispetto a $x$ è $840 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $840$ per $1$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 + \frac{d}{d x} [- 1225]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Poiché $- 1225$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1225$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 + 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ e $0$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 428 x] + \frac{d}{d x} [840]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $72 x^{2}$ rispetto a $x$ è $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $72$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x + \frac{d}{d x} (- 428 x) + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 428 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 428$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 428 x$ rispetto a $x$ è $- 428 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 428$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428 + \frac{d}{d x} (840)$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $840$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $840$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428 + 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $- 12 x^{2} + 144 x - 428$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144 x - 428$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{3}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $24$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 214 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 214$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 214 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 214 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 214 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 214 (2 x) + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 214$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + \frac{d}{d x} (840 x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [840 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Poiché $840$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $840 x$ rispetto a $x$ è $840 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.5.3

Moltiplica $840$ per $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 + \frac{d}{d x} (- 1225)$

Passaggio 5.1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Poiché $- 1225$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1225$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 + 0$

Passaggio 5.1.6.2

Somma $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 428 x + 840$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{3}$ .

$4 (- x^{3}) + 72 x^{2} - 428 x + 840 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $4$ da $72 x^{2}$ .

$4 (- x^{3}) + 4 (18 x^{2}) - 428 x + 840 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $4$ da $- 428 x$ .

$4 (- x^{3}) + 4 (18 x^{2}) + 4 (- 107 x) + 840 = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $4$ da $840$ .

$4 (- x^{3}) + 4 (18 x^{2}) + 4 (- 107 x) + 4 (210) = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- x^{3}) + 4 (18 x^{2})$ .

$4 (- x^{3} + 18 x^{2}) + 4 (- 107 x) + 4 (210) = 0$

Passaggio 6.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (- x^{3} + 18 x^{2}) + 4 (- 107 x)$ .

$4 (- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x) + 4 (210) = 0$

Passaggio 6.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x) + 4 (210)$ .

$4 (- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210) = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 210, \pm 2, \pm 105, \pm 3, \pm 70, \pm 5, \pm 42, \pm 6, \pm 35, \pm 7, \pm 30, \pm 10, \pm 21, \pm 14, \pm 15$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 210, \pm 2, \pm 105, \pm 3, \pm 70, \pm 5, \pm 42, \pm 6, \pm 35, \pm 7, \pm 30, \pm 10, \pm 21, \pm 14, \pm 15$

Passaggio 6.2.2.3

Sostituisci $5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Sostituisci $5$ nel polinomio.

$- 5^{3} + 18 \cdot 5^{2} - 107 \cdot 5 + 210$

Passaggio 6.2.2.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 125 + 18 \cdot 5^{2} - 107 \cdot 5 + 210$

Passaggio 6.2.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $125$ .

$- 125 + 18 \cdot 5^{2} - 107 \cdot 5 + 210$

Passaggio 6.2.2.3.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- 125 + 18 \cdot 25 - 107 \cdot 5 + 210$

Passaggio 6.2.2.3.5

Moltiplica $18$ per $25$ .

$- 125 + 450 - 107 \cdot 5 + 210$

Passaggio 6.2.2.3.6

Somma $- 125$ e $450$ .

$325 - 107 \cdot 5 + 210$

Passaggio 6.2.2.3.7

Moltiplica $- 107$ per $5$ .

$325 - 535 + 210$

Passaggio 6.2.2.3.8

Sottrai $535$ da $325$ .

$- 210 + 210$

Passaggio 6.2.2.3.9

Somma $- 210$ e $210$ .

$0$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210}{x - 5}$

Passaggio 6.2.2.5

Dividi $- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210$ per $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$18 x^{2}$

$107 x$

$210$

Passaggio 6.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$

Passaggio 6.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} + 5 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$

Passaggio 6.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $13 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$

Passaggio 6.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$65 x$

Passaggio 6.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $13 x^{2} - 65 x$

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$

Passaggio 6.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$

Passaggio 6.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$

Passaggio 6.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 42 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$13 x$	-	$42$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$

Passaggio 6.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$	-	$42$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$
							-	$42 x$	+	$210$

Passaggio 6.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 42 x + 210$

			-	$x^{2}$	+	$13 x$	-	$42$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$
							+	$42 x$	-	$210$

Passaggio 6.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$13 x$	-	$42$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$107 x$	+	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$13 x^{2}$	-	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$
							-	$42 x$	+	$210$
							+	$42 x$	-	$210$
										$0$

Passaggio 6.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} + 13 x - 42$

Passaggio 6.2.2.6

Scrivi $- x^{3} + 18 x^{2} - 107 x + 210$ come insieme di fattori.

$4 ((x - 5) (- x^{2} + 13 x - 42)) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ e la cui somma è $b = 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.1.1

Scomponi $13$ da $13 x$ .

$4 ((x - 5) (- x^{2} + 13 (x) - 42)) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.1.1.2

Riscrivi $13$ come $6$ più $7$ .

$4 ((x - 5) (- x^{2} + (6 + 7) x - 42)) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 ((x - 5) (- x^{2} + 6 x + 7 x - 42)) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$4 ((x - 5) ((- x^{2} + 6 x) + 7 x - 42)) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 ((x - 5) (x (- x + 6) - 7 (- x + 6))) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 6$ .

$4 ((x - 5) ((- x + 6) (x - 7))) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 ((x - 5) (- x + 6) (x - 7)) = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 5) (- x + 6) (x - 7) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 6.5

Imposta $- x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $- x + 6$ uguale a $0$ .

$- x + 6 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $- x + 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 6$

Passaggio 6.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.1

Dividi $- 6$ per $- 1$ .

$x = 6$

Passaggio 6.6

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 6.6.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 6.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 5) (- x + 6) (x - 7) = 0$ vera.

$x = 5, 6, 7$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 5, 6, 7$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(5)}^{2} + 144 (5) - 428$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 25 + 144 (5) - 428$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 12$ per $25$ .

$- 300 + 144 (5) - 428$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $144$ per $5$ .

$- 300 + 720 - 428$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $- 300$ e $720$ .

$420 - 428$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $428$ da $420$ .

$- 8$

Passaggio 11

$x = 5$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = - {(5)}^{4} + 24 {(5)}^{3} - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f (5) = - 1 \cdot 625 + 24 {(5)}^{3} - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $625$ .

$f (5) = - 625 + 24 {(5)}^{3} - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Passaggio 12.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (5) = - 625 + 24 \cdot 125 - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $24$ per $125$ .

$f (5) = - 625 + 3000 - 214 {(5)}^{2} + 840 (5) - 1225$

Passaggio 12.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = - 625 + 3000 - 214 \cdot 25 + 840 (5) - 1225$

Passaggio 12.2.1.6

Moltiplica $- 214$ per $25$ .

$f (5) = - 625 + 3000 - 5350 + 840 (5) - 1225$

Passaggio 12.2.1.7

Moltiplica $840$ per $5$ .

$f (5) = - 625 + 3000 - 5350 + 4200 - 1225$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Somma $- 625$ e $3000$ .

$f (5) = 2375 - 5350 + 4200 - 1225$

Passaggio 12.2.2.2

Sottrai $5350$ da $2375$ .

$f (5) = - 2975 + 4200 - 1225$

Passaggio 12.2.2.3

Somma $- 2975$ e $4200$ .

$f (5) = 1225 - 1225$

Passaggio 12.2.2.4

Sottrai $1225$ da $1225$ .

$f (5) = 0$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 6$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(6)}^{2} + 144 (6) - 428$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 36 + 144 (6) - 428$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- 12$ per $36$ .

$- 432 + 144 (6) - 428$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $144$ per $6$ .

$- 432 + 864 - 428$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $- 432$ e $864$ .

$432 - 428$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $428$ da $432$ .

$4$

Passaggio 15

$x = 6$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 6$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = - {(6)}^{4} + 24 {(6)}^{3} - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f (6) = - 1 \cdot 1296 + 24 {(6)}^{3} - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Passaggio 16.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1296$ .

$f (6) = - 1296 + 24 {(6)}^{3} - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Passaggio 16.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f (6) = - 1296 + 24 \cdot 216 - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $24$ per $216$ .

$f (6) = - 1296 + 5184 - 214 {(6)}^{2} + 840 (6) - 1225$

Passaggio 16.2.1.5

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (6) = - 1296 + 5184 - 214 \cdot 36 + 840 (6) - 1225$

Passaggio 16.2.1.6

Moltiplica $- 214$ per $36$ .

$f (6) = - 1296 + 5184 - 7704 + 840 (6) - 1225$

Passaggio 16.2.1.7

Moltiplica $840$ per $6$ .

$f (6) = - 1296 + 5184 - 7704 + 5040 - 1225$

Passaggio 16.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Somma $- 1296$ e $5184$ .

$f (6) = 3888 - 7704 + 5040 - 1225$

Passaggio 16.2.2.2

Sottrai $7704$ da $3888$ .

$f (6) = - 3816 + 5040 - 1225$

Passaggio 16.2.2.3

Somma $- 3816$ e $5040$ .

$f (6) = 1224 - 1225$

Passaggio 16.2.2.4

Sottrai $1225$ da $1224$ .

$f (6) = - 1$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = 7$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(7)}^{2} + 144 (7) - 428$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 49 + 144 (7) - 428$

Passaggio 18.1.2

Moltiplica $- 12$ per $49$ .

$- 588 + 144 (7) - 428$

Passaggio 18.1.3

Moltiplica $144$ per $7$ .

$- 588 + 1008 - 428$

Passaggio 18.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Somma $- 588$ e $1008$ .

$420 - 428$

Passaggio 18.2.2

Sottrai $428$ da $420$ .

$- 8$

Passaggio 19

$x = 7$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 7$ è un massimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f (7) = - {(7)}^{4} + 24 {(7)}^{3} - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$f (7) = - 1 \cdot 2401 + 24 {(7)}^{3} - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Passaggio 20.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2401$ .

$f (7) = - 2401 + 24 {(7)}^{3} - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Passaggio 20.2.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f (7) = - 2401 + 24 \cdot 343 - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Passaggio 20.2.1.4

Moltiplica $24$ per $343$ .

$f (7) = - 2401 + 8232 - 214 {(7)}^{2} + 840 (7) - 1225$

Passaggio 20.2.1.5

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (7) = - 2401 + 8232 - 214 \cdot 49 + 840 (7) - 1225$

Passaggio 20.2.1.6

Moltiplica $- 214$ per $49$ .

$f (7) = - 2401 + 8232 - 10486 + 840 (7) - 1225$

Passaggio 20.2.1.7

Moltiplica $840$ per $7$ .

$f (7) = - 2401 + 8232 - 10486 + 5880 - 1225$

Passaggio 20.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1

Somma $- 2401$ e $8232$ .

$f (7) = 5831 - 10486 + 5880 - 1225$

Passaggio 20.2.2.2

Sottrai $10486$ da $5831$ .

$f (7) = - 4655 + 5880 - 1225$

Passaggio 20.2.2.3

Somma $- 4655$ e $5880$ .

$f (7) = 1225 - 1225$

Passaggio 20.2.2.4

Sottrai $1225$ da $1225$ .

$f (7) = 0$

Passaggio 20.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{4} + 24 x^{3} - 214 x^{2} + 840 x - 1225$ .

$(5, 0)$ è un massimo locale

$(6, - 1)$ è un minimo locale

$(7, 0)$ è un massimo locale

Passaggio 22