Algebra Esempi

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$

Passaggio 1

Scrivi $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ come funzione.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 4 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $6 x + 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 4 x - 5$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 4 x - 5 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = 4$ e $c = - 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 5)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.3

Somma $16$ e $60$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.4

Riscrivi $76$ come $2^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $76$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.3

Somma $16$ e $60$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.4

Riscrivi $76$ come $2^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $76$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.5.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.5.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 6.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 6.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.3

Somma $16$ e $60$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.4

Riscrivi $76$ come $2^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $76$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 6.6.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.6.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.6.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{19})}{3}$

Passaggio 6.6.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - (\sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 6.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) + 4$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ nel numeratore.

$6 \frac{- (2 - \sqrt{19})}{3} + 4$

Passaggio 10.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{- (2 - \sqrt{19})}{3} + 4$

Passaggio 10.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{- (2 - \sqrt{19})}{3} + 4$

Passaggio 10.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (- (2 - \sqrt{19})) + 4$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (2 - \sqrt{19}) + 4$

Passaggio 10.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cdot 2 - 2 (- \sqrt{19}) + 4$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 4 - 2 (- \sqrt{19}) + 4$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 4 + 2 \sqrt{19} + 4$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Passaggio 10.2.2

Somma $0$ e $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Passaggio 11

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}}) + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(2 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(2 - \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.4

Usa il teorema binomiale.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (4 (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.4

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.6

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.8

Moltiplica ${\sqrt{19}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.9

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.9.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.10

Moltiplica $6$ per $19$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.11

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.13

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{3}$ come $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - \sqrt{19^{3}}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.14

Eleva $19$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - \sqrt{6859}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.15

Riscrivi $6859$ come $19^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.15.1

Scomponi $361$ da $6859$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - \sqrt{361 (19)}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.15.2

Riscrivi $361$ come $19^{2}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.16

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - (19 \sqrt{19})}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.5.17

Moltiplica $19$ per $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{19} + 114 - 19 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.6

Somma $8$ e $114$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 12 \sqrt{19} - 19 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.7

Sottrai $19 \sqrt{19}$ da $- 12 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 - \sqrt{19}}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (1 (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.10

Moltiplica $\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{{(2 - \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.12

Riscrivi ${(2 - \sqrt{19})}^{2}$ come $(2 - \sqrt{19}) (2 - \sqrt{19})$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{(2 - \sqrt{19}) (2 - \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.13

Espandi $(2 - \sqrt{19}) (2 - \sqrt{19})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 (2 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (2 - \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (2 - \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 2 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.14.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 2 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 2 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.4

Moltiplica $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.14.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{19}$ per $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.4.3

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.4.4

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.5

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.14.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.14.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} + 19}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.2

Somma $4$ e $19$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{23 - 2 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.14.3

Sottrai $2 \sqrt{19}$ da $- 2 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{23 - 4 \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.15

$2$ e $\frac{23 - 4 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9} - 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.16

Moltiplica $- 5 (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9} + 5 (\frac{2 - \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 12.2.1.16.2

$5$ e $\frac{2 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9} + \frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 12.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Moltiplica $\frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 12.2.2.2

Moltiplica $\frac{2 (23 - 4 \sqrt{19})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 12.2.2.3

Moltiplica $\frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 12.2.2.4

Moltiplica $\frac{5 (2 - \sqrt{19})}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 12.2.2.5

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 12.2.2.6

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 12.2.2.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 - 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (122 - 31 \sqrt{19}) + 2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 122 - (- 31 \sqrt{19}) + 2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $122$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - (- 31 \sqrt{19}) + 2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.3

Moltiplica $- 31$ per $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 2 (23 - 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + (2 \cdot 23 + 2 (- 4 \sqrt{19})) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.5

Moltiplica $2$ per $23$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + (46 + 2 (- 4 \sqrt{19})) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.6

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + (46 - 8 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.7

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 46 \cdot 3 - 8 \sqrt{19} \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.8

Moltiplica $46$ per $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 8 \sqrt{19} \cdot 3 + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.9

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + 5 (2 - \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.10

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + (5 \cdot 2 + 5 (- \sqrt{19})) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.11

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + (10 + 5 (- \sqrt{19})) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.12

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + (10 - 5 \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.13

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + 10 \cdot 9 - 5 \sqrt{19} \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.14

Moltiplica $10$ per $9$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + 90 - 5 \sqrt{19} \cdot 9}{27}$

Passaggio 12.2.4.15

Moltiplica $9$ per $- 5$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 + 31 \sqrt{19} + 138 - 24 \sqrt{19} + 90 - 45 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Somma $- 122$ e $138$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{16 + 31 \sqrt{19} - 24 \sqrt{19} + 90 - 45 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.5.2

Somma $16$ e $90$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 + 31 \sqrt{19} - 24 \sqrt{19} - 45 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.5.3

Sottrai $24 \sqrt{19}$ da $31 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 + 7 \sqrt{19} - 45 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.5.4

Sottrai $45 \sqrt{19}$ da $7 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.6

La risposta finale è $\frac{106 - 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{106 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) + 4$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ nel numeratore.

$6 \frac{- (2 + \sqrt{19})}{3} + 4$

Passaggio 14.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{- (2 + \sqrt{19})}{3} + 4$

Passaggio 14.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{- (2 + \sqrt{19})}{3} + 4$

Passaggio 14.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (- (2 + \sqrt{19})) + 4$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (2 + \sqrt{19}) + 4$

Passaggio 14.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{19} + 4$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 4 - 2 \sqrt{19} + 4$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $2 \sqrt{19}$ da $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Passaggio 15

$x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}}) + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(2 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(2 + \sqrt{19})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.4

Usa il teorema binomiale.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (4 \sqrt{19}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 3 \cdot (2 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.5

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.5.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 6 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.6

Moltiplica $6$ per $19$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.7

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{3}$ come $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + \sqrt{19^{3}}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.8

Eleva $19$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + \sqrt{6859}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.9

Riscrivi $6859$ come $19^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.5.9.1

Scomponi $361$ da $6859$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + \sqrt{361 (19)}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.9.2

Riscrivi $361$ come $19^{2}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.5.10

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{19} + 114 + 19 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.6

Somma $8$ e $114$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 12 \sqrt{19} + 19 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.7

Somma $12 \sqrt{19}$ e $19 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 + \sqrt{19}}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (1 (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.10

Moltiplica $\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{{(2 + \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.12

Riscrivi ${(2 + \sqrt{19})}^{2}$ come $(2 + \sqrt{19}) (2 + \sqrt{19})$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{(2 + \sqrt{19}) (2 + \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.13

Espandi $(2 + \sqrt{19}) (2 + \sqrt{19})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 (2 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (2 + \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} (2 + \sqrt{19})}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 2 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.14

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.14.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 2 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.14.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.14.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.14.1.4

Moltiplica $19$ per $19$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.14.1.5

Riscrivi $361$ come $19^{2}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.14.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} + 19}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.14.2

Somma $4$ e $19$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{23 + 2 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.14.3

Somma $2 \sqrt{19}$ e $2 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + 2 (\frac{23 + 4 \sqrt{19}}{9}) - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.15

$2$ e $\frac{23 + 4 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9} - 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.16

Moltiplica $- 5 (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9} + 5 (\frac{2 + \sqrt{19}}{3})$

Passaggio 16.2.1.16.2

$5$ e $\frac{2 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9} + \frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 16.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Moltiplica $\frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 16.2.2.2

Moltiplica $\frac{2 (23 + 4 \sqrt{19})}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 16.2.2.3

Moltiplica $\frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 16.2.2.4

Moltiplica $\frac{5 (2 + \sqrt{19})}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 16.2.2.5

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 16.2.2.6

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 16.2.2.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{122 + 31 \sqrt{19}}{27} + \frac{2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (122 + 31 \sqrt{19}) + 2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 122 - (31 \sqrt{19}) + 2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $122$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - (31 \sqrt{19}) + 2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.3

Moltiplica $31$ per $- 1$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 2 (23 + 4 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + (2 \cdot 23 + 2 (4 \sqrt{19})) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.5

Moltiplica $2$ per $23$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + (46 + 2 (4 \sqrt{19})) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + (46 + 8 \sqrt{19}) \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.7

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 46 \cdot 3 + 8 \sqrt{19} \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.8

Moltiplica $46$ per $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 8 \sqrt{19} \cdot 3 + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.9

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + 5 (2 + \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.10

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + (5 \cdot 2 + 5 \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.11

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + (10 + 5 \sqrt{19}) \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.12

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + 10 \cdot 9 + 5 \sqrt{19} \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.13

Moltiplica $10$ per $9$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + 90 + 5 \sqrt{19} \cdot 9}{27}$

Passaggio 16.2.4.14

Moltiplica $9$ per $5$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 122 - 31 \sqrt{19} + 138 + 24 \sqrt{19} + 90 + 45 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.5

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.5.1

Somma $- 122$ e $138$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{16 - 31 \sqrt{19} + 24 \sqrt{19} + 90 + 45 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.5.2

Somma $16$ e $90$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 - 31 \sqrt{19} + 24 \sqrt{19} + 45 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.5.3

Somma $- 31 \sqrt{19}$ e $24 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 - 7 \sqrt{19} + 45 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.5.4

Somma $- 7 \sqrt{19}$ e $45 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{106 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.6

La risposta finale è $\frac{106 + 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{106 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ .

$(- \frac{2 - \sqrt{19}}{3}, \frac{106 - 38 \sqrt{19}}{27})$ è un minimo locale

$(- \frac{2 + \sqrt{19}}{3}, \frac{106 + 38 \sqrt{19}}{27})$ è un massimo locale

Passaggio 18