Algebra Esempi

$\frac{3}{2}$ , $\frac{15}{4}$ , $\frac{75}{8}$ , $\frac{375}{16}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{5}{2}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{5}{2}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori di $a_{1} = \frac{3}{2}$ e $r = \frac{5}{2}$ .

$a_{n} = \frac{3}{2} {(\frac{5}{2})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$a_{n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Passaggio 5

Combina.

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $2^{n - 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2$ per $2^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

Passaggio 6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

Passaggio 6.2

Combina i termini opposti in $1 + n - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

Passaggio 6.2.2

Somma $n$ e $0$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{n}}$

Passaggio 7

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 8

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\frac{5}{2})}^{4} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{5^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Passaggio 9.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{2^{4}} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Passaggio 9.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Passaggio 9.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Passaggio 9.5

$- 1$ e $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Passaggio 9.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Passaggio 9.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625 - 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Passaggio 9.7.2

Sottrai $16$ da $625$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 10.2

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 10.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5 - 2}{2}}$

Passaggio 10.4.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 11

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{609}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Scomponi $3$ da $609$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3 (203)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 203}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{16} \cdot 2)$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{2 (8)} \cdot 2)$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{203}{8}$

Passaggio 14

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{203}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{203}{8}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 203}{2 \cdot 8}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $3$ per $203$ .

$S_{4} = \frac{609}{2 \cdot 8}$

Passaggio 14.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$S_{4} = \frac{609}{16}$