Algebra Esempi

$a + \frac{1}{a^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a + \frac{1}{a^{2}}$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$ .

$\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{a^{2}}$ come ${(a^{2})}^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d a} [{(a^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = a^{- 1}$ e $g (a) = a^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $a^{2}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 - u^{- 2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a^{2}$ .

$1 - {(a^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 - {(a^{2})}^{- 2} (2 a)$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(a^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - a^{2 \cdot - 2} (2 a)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$1 - a^{- 4} (2 a)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - 2 a^{- 4} a$

Passaggio 2.6

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$1 - 2 (a^{1} a^{- 4})$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - 2 a^{1 - 4}$

Passaggio 2.8

Sottrai $4$ da $1$ .

$1 - 2 a^{- 3}$

Passaggio 3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{a^{3}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.1.1

$- 2$ e $\frac{1}{a^{3}}$ .

$1 + \frac{- 2}{a^{3}}$

Passaggio 4.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{2}{a^{3}}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$- \frac{2}{a^{3}} + 1$