Algebra Esempi

$3 x^{2} + 4 x = y$ , $[0, 100]$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Passaggio 2

Secondo il teorema dei valori intermedi, se $f$ è una funzione continua a valore reale sull'intervallo $[a, b]$ e $u$ è un numero tra $f (a)$ e $f (b)$ , allora esiste un punto $c$ contenuto nell'intervallo $[a, b]$ tale che $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Calcola $f (a) = f (0) = 3 {(0)}^{2} + 4 (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 (0)$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 5

Calcola $f (b) = f (100) = 3 {(100)}^{2} + 4 (100)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Eleva $100$ alla potenza di $2$ .

$f (100) = 3 \cdot 10000 + 4 (100)$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $3$ per $10000$ .

$f (100) = 30000 + 4 (100)$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $4$ per $100$ .

$f (100) = 30000 + 400$

Passaggio 5.2

Somma $30000$ e $400$ .

$f (100) = 30400$

Passaggio 6

Poiché $0$ è sull'intervallo $[0, 30400]$ , risolvi l'equazione per $x$ alla radice ponendo $y$ come $0$ in $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $3 x^{2} + 4 x = 0$ .

$3 x^{2} + 4 x = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 4 x = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 4 = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot 4$ .

$x (3 x + 4) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $3 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 6.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 6.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 6.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (3 x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{4}{3}$

Passaggio 7

Secondo il teorema dei valori intermedi, esiste una radice $f (c) = 0$ sull'intervallo $[0, 30400]$ perché $f$ è una funzione continua su $[0, 100]$ .

Le radici dell'intervallo $[0, 100]$ si trovano con $x = 0$ .

Passaggio 8