Algebra Esempi

$\frac{x^{2} + 13 x + 54}{x + 6}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 13 x + 54$ e $g (x) = x + 6$ .

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 13 x + 54] - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 13 x + 54$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [54]$ .

$\frac{(x + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [13 x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13 x$ rispetto a $x$ è $13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $13$ per $1$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $54$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 + 0) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $2 x + 13$ e $0$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) + (- x^{2} - (13 x) - 1 \cdot 54) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Espandi $(x + 6) (2 x + 13)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x + 13) + 6 (2 x + 13) - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 + 6 (2 x + 13) - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.3

Sposta $13$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 \cdot x + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x + 12 x + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.5

Moltiplica $6$ per $13$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x + 12 x + 78 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Somma $13 x$ e $12 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Moltiplica $13$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.5

Moltiplica $- 13$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.6

Moltiplica $- 1 \cdot 54 \cdot 1$ .

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Passaggio 5.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $54$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x - 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.6.2

Moltiplica $- 54$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x - 54}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 25 x + 78 - 13 x - 54}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Sottrai $13 x$ da $25 x$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 78 - 54}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $54$ da $78$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 24}{{(x + 6)}^{2}}$