Algebra Esempi

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 20 x + 6}{x^{3} + 2 x^{2} + x}$

Passaggio 1

Dividi usando la divisione di polinomi lunga.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 0$

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$20 x$

Passaggio 1.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$20 x$

$6$

Passaggio 1.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + \frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x^{3} + 2 x^{2} + x}$

Passaggio 2

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + 2 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x}$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x^{1}}$

Passaggio 2.1.1.4

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.6

Scomponi $x$ da $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 x + 1)}$

Passaggio 2.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 x + 1^{2})}$

Passaggio 2.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 2.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) (x {(x + 1)}^{2})}{x {(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) (x {(x + 1)}^{2})}{x {(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.6.2

Dividi $5 x^{2} + 20 x + 6$ per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.1.2

Dividi $A ({(x + 1)}^{2})$ per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A ({(x + 1)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.2

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A ((x + 1) (x + 1)) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.3

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.7.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.7.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.4.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x + x + 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.4.2

Somma $x$ e $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + 2 x + 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.6

Semplifica.

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Passaggio 2.7.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.6.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.7

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.7.1

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{B (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.7.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 2.7.8

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Passaggio 2.7.8.1

Scomponi $x + 1$ da $(C) (x {(x + 1)}^{2})$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{(x + 1) (C (x (x + 1)))}{x + 1}$

Passaggio 2.7.8.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.7.8.2.1

Moltiplica per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{(x + 1) (C (x (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 2.7.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{(x + 1) (C (x (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 2.7.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{C (x (x + 1))}{1}$

Passaggio 2.7.8.2.4

Dividi $C (x (x + 1))$ per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x (x + 1))$

Passaggio 2.7.9

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Passaggio 2.7.10

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Passaggio 2.7.11

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x)$

Passaggio 2.7.12

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C x^{2} + C x$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Sposta $A$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + A + B x + C x^{2} + C x$

Passaggio 2.8.2

Riordina $B$ e $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + A + B x + C x^{2} + C x$

Passaggio 2.8.3

Sposta $A$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + B x + C x^{2} + C x + A$

Passaggio 2.8.4

Sposta $B x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + C x^{2} + B x + C x + A$

Passaggio 2.8.5

Sposta $2 x A$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + C x^{2} + 2 x A + B x + C x + A$

Passaggio 3

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = A + C$

Passaggio 3.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$20 = 2 A + B + C$

Passaggio 3.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = A$

Passaggio 3.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$5 = A + C$

$20 = 2 A + B + C$

$6 = A$

$5 = A + C$

$20 = 2 A + B + C$

$6 = A$

Passaggio 4

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $A = 6$ .

$A = 6$

$5 = A + C$

$20 = 2 A + B + C$

Passaggio 4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $6$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $5 = A + C$ con $6$ .

$5 = (6) + C$

$A = 6$

$20 = 2 A + B + C$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 2 A + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 2 A + B + C$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $20 = 2 A + B + C$ con $6$ .

$20 = 2 (6) + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$20 = 12 + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 12 + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 12 + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Passaggio 4.3

Risolvi per $C$ in $5 = 6 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $6 + C = 5$ .

$6 + C = 5$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

Passaggio 4.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 5 - 6$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $6$ da $5$ .

$C = - 1$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

$C = - 1$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

$C = - 1$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

Passaggio 4.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $20 = 12 + B + C$ con $- 1$ .

$20 = 12 + B - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $20 = 12 + B - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$20 = 12 + B - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = 12 + B - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

Passaggio 4.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Sottrai $1$ da $12$ .

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

Passaggio 4.5

Risolvi per $B$ in $20 = B + 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'equazione come $B + 11 = 20$ .

$B + 11 = 20$

$C = - 1$

$A = 6$

Passaggio 4.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 20 - 11$

$C = - 1$

$A = 6$

Passaggio 4.5.2.2

Sottrai $11$ da $20$ .

$B = 9$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 9$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 9$

$C = - 1$

$A = 6$

Passaggio 4.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 9 C = - 1 A = 6$

Passaggio 4.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 9, C = - 1, A = 6$

Passaggio 5

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $x + \frac{A}{x} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$x + \frac{6}{x} + \frac{9}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x + 1}$