Algebra Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + 5 \sqrt{x - 2}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 5 \sqrt{x - 2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{x - 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{x - 2}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{x - 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{x - 2}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{x - 2}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x - 2}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 2}$ come ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [5 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 x + 5 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$4 x + 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 3.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Passaggio 3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Passaggio 3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Passaggio 3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Passaggio 3.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Passaggio 3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Passaggio 3.12

Somma $1$ e $0$ .

$4 x + 5 (\frac{1}{2} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 3.13

$\frac{1}{2}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 x + 5 (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.14

Moltiplica $\frac{{(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$4 x + 5 \frac{{(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.15

Sposta ${(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 5 \frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.16

$5$ e $\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 x + \frac{5}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$