Algebra Esempi

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

Passaggio 1

Scrivi ciascuna equazione del piano in forma standard.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per scrivere $\frac{x + 3}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $\frac{y - 1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $\frac{x + 3}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $\frac{y - 1}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.5.5

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.5.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.1.5.7

Sottrai $4$ da $9$ .

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.2

Dividi la frazione $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ in due frazioni.

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.3

Dividi la frazione $\frac{3 x + 4 y}{12}$ in due frazioni.

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $4$ da $4 y$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Passaggio 1.6

Sottrai $\frac{5}{12}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

Passaggio 1.7.3

Sottrai $5$ da $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

Passaggio 2

Per determinare l'intersezione di una linea passante per il punto $(p, q, r)$ e perpendicolare al piano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e al piano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Trova i vettori normali del piano $P_{1}$ e del piano $P_{2}$ , dove i vettori normali sono $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifica se il prodotto scalare è 0.

2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano $P_{2}$ in modo tale che $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ e risolvi per $t$ .

4. Utilizzando il valore di $t$ , risolvi le equazioni parametriche $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ per $t$ per trovare l'intersezione $(x, y, z)$ .

Passaggio 3

Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$P_{1}$ è $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ . Calcola il vettore normale $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dall'equazione piana della forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

Passaggio 3.2

$P_{2}$ è $2 x - y = 12$ . Calcola il vettore normale $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dall'equazione piana della forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

Passaggio 3.3

Calcola il prodotto scalare di $n_{1}$ e $n_{2}$ sommando i prodotti dei corrispondenti valori $x$ , $y$ e $z$ nei vettori normali.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4

Semplifica il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

Passaggio 3.4.3

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

Passaggio 3.4.4

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Passaggio 3.4.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Passaggio 3.4.5.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

Passaggio 3.4.5.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

Passaggio 3.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

Passaggio 3.4.7

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{6} + 0$

Passaggio 3.4.8

Somma $\frac{1}{6}$ e $0$ .

$\frac{1}{6}$

Passaggio 4

Quindi costruisci una serie di equazioni parametriche $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando l'origine $(0, 0, 0)$ per il punto $(p, q, r)$ e i valori del vettore normale $\frac{1}{6}$ per i valori di $a$ , $b$ e $c$ . Questa serie di equazioni parametriche rappresenta la retta attraverso l'origine perpendicolare a $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Passaggio 5

Sostituisci l'espressione per $x$ , $y$ e $z$ nell'equazione per $P_{2}$ $2 x - y = 12$ .

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Combina i termini opposti in $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Somma $0$ e $\frac{1}{4} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Passaggio 6.1.1.2

Somma $0$ e $\frac{1}{3} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

Passaggio 6.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

$\frac{1}{4}$ e $t$ .

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Passaggio 6.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Passaggio 6.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Passaggio 6.1.2.3

$\frac{1}{3}$ e $t$ .

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

Passaggio 6.1.3

Per scrivere $\frac{t}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

Passaggio 6.1.4

Per scrivere $- \frac{t}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Passaggio 6.1.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1

Moltiplica $\frac{t}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Passaggio 6.1.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Passaggio 6.1.5.3

Moltiplica $\frac{t}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

Passaggio 6.1.5.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

Passaggio 6.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

Passaggio 6.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.1

Scomponi $t$ da $t \cdot 3 - t \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.1.1

Scomponi $t$ da $t \cdot 3$ .

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

Passaggio 6.1.7.1.2

Scomponi $t$ da $- t \cdot 2$ .

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Passaggio 6.1.7.1.3

Scomponi $t$ da $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Passaggio 6.1.7.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

Passaggio 6.1.7.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

Passaggio 6.1.8

Moltiplica $t$ per $1$ .

$\frac{t}{6} = 12$

Passaggio 6.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Passaggio 6.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Passaggio 6.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$t = 6 \cdot 12$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $6$ per $12$ .

$t = 72$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione parametrica per $x$ , $y$ e $z$ usando il valore di $t$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

Passaggio 7.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

Passaggio 7.1.3

Semplifica $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1.1

Scomponi $4$ da $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

Passaggio 7.1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

Passaggio 7.1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 0 + 18$

Passaggio 7.1.3.2

Somma $0$ e $18$ .

$x = 18$

Passaggio 7.2

Risolvi l'equazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

Passaggio 7.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

Passaggio 7.2.3

Semplifica $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

Passaggio 7.2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Passaggio 7.2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 0 + 24$

Passaggio 7.2.3.2

Somma $0$ e $24$ .

$y = 24$

Passaggio 7.3

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

Passaggio 7.3.2

Semplifica $0 + 0 \cdot (72)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $0$ per $72$ .

$z = 0 + 0$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$z = 0$

Passaggio 7.4

Le equazioni parametriche risolte per $x$ , $y$ e $z$ .

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

Passaggio 8

Utilizzando i valori calcolati per $x$ , $y$ e $z$ , il punto di intersezione risulta essere $(18, 24, 0)$ .

$(18, 24, 0)$