Algebra Esempi

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + 8$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$f (x) = x^{5} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 2

Scomponi $x$ da $x^{5} - 5 x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 2.2

Scomponi $x$ da $- 5 x^{2}$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 2.3

Scomponi $x$ da $- 6 x$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (- 5 x)$ .

$f (x) = x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 2.5

Scomponi $x$ da $x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6$ .

$f (x) = x (x^{4} - 5 x - 6) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 3

Scomponi $x^{4} - 5 x - 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$f (x) = {(- 1)}^{4} - 5 \cdot - 1 - 6$

Passaggio 3.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (x) = 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f (x) = 1 + 5 - 6$

Passaggio 3.3.4

Somma $1$ e $5$ .

$f (x) = 6 - 6$

Passaggio 3.3.5

Sottrai $6$ da $6$ .

$f (x) = 0$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x - 6}{x + 1}$

Passaggio 3.5

Dividi $x^{4} - 5 x - 6$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$f (x) =$

Passaggio 3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + x^{3}$

$f (x) =$

Passaggio 3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Passaggio 3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

$f (x) =$

Passaggio 3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x - 6$

$f (x) =$

Passaggio 3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 3.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$f (x) = x^{3} - x^{2} + x - 6$

Passaggio 3.6

Scrivi $x^{4} - 5 x - 6$ come insieme di fattori.

$f (x) = x ((x + 1) (x^{3} - x^{2} + x - 6)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $x^{3} - x^{2} + x - 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $x^{3} - x^{2} + x - 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 4.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} + 2 - 6$

Passaggio 4.1.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (x) = 8 - 2^{2} + 2 - 6$

Passaggio 4.1.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 + 2 - 6$

Passaggio 4.1.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (x) = 8 - 4 + 2 - 6$

Passaggio 4.1.1.3.5

Sottrai $4$ da $8$ .

$f (x) = 4 + 2 - 6$

Passaggio 4.1.1.3.6

Somma $4$ e $2$ .

$f (x) = 6 - 6$

Passaggio 4.1.1.3.7

Sottrai $6$ da $6$ .

$f (x) = 0$

Passaggio 4.1.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x - 6}{x - 2}$

Passaggio 4.1.1.5

Dividi $x^{3} - x^{2} + x - 6$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 2 x$

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x - 6$

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 4.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$f (x) = x^{2} + x + 3$

Passaggio 4.1.1.6

Scrivi $x^{3} - x^{2} + x - 6$ come insieme di fattori.

$f (x) = x ((x + 1) ((x - 2) (x^{2} + x + 3))) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 4.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = x ((x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Passaggio 5

Scomponi $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 5.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$f (x) = - 3 {(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Passaggio 5.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (x) = - 3 \cdot 1 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (x) = - 3 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Passaggio 5.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (x) = - 3 + 5 \cdot - 1 + 8$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f (x) = - 3 - 5 + 8$

Passaggio 5.3.6

Sottrai $5$ da $- 3$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Passaggio 5.3.7

Somma $- 8$ e $8$ .

$f (x) = 0$

Passaggio 5.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$f (x) = \frac{- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8}{x + 1}$

Passaggio 5.5

Dividi $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$f (x) =$

Passaggio 5.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{4} - 3 x^{3}$

$f (x) =$

Passaggio 5.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 5.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x^{3} + 8 x^{2}$

$f (x) =$

Passaggio 5.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 5.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} - 8 x$

$f (x) =$

Passaggio 5.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 5.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x + 8$

$f (x) =$

Passaggio 5.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 5.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$f (x) = - 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$

Passaggio 5.6

Scrivi $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ come insieme di fattori.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8)$

Passaggio 6

Scomponi $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 6.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Passaggio 6.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$f (x) = - 3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Passaggio 6.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (x) = - 3 \cdot 8 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Passaggio 6.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 8$

Passaggio 6.1.3.5

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f (x) = - 24 + 32 - 8 \cdot 2 + 8$

Passaggio 6.1.3.6

Somma $- 24$ e $32$ .

$f (x) = 8 - 8 \cdot 2 + 8$

Passaggio 6.1.3.7

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$f (x) = 8 - 16 + 8$

Passaggio 6.1.3.8

Sottrai $16$ da $8$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Passaggio 6.1.3.9

Somma $- 8$ e $8$ .

$f (x) = 0$

Passaggio 6.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$f (x) = \frac{- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8}{x - 2}$

Passaggio 6.1.5

Dividi $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{3} + 6 x^{2}$

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} - 4 x$

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x + 8$

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 6.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$f (x) = - 3 x^{2} + 2 x - 4$

Passaggio 6.1.6

Scrivi $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ come insieme di fattori.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) ((x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4))$

Passaggio 6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Passaggio 7

Scomponi $(x + 1) (x - 2)$ da $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $(x + 1) (x - 2)$ da $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Passaggio 7.2

Scomponi $(x + 1) (x - 2)$ da $(x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Passaggio 8

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 9.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Passaggio 9.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Passaggio 9.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Passaggio 9.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Passaggio 9.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 \cdot x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Passaggio 10

Sottrai $3 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2 x - 4)$

Passaggio 11

Somma $3 x$ e $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4)$

Passaggio 12

Scomponi.

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Passaggio 12.1

Scomponi $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 12.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 12.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$f (x) = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 12.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 12.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$f (x) = 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Passaggio 12.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Passaggio 12.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Passaggio 12.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (x) = 1 - 2 + 5 \cdot 1 - 4$

Passaggio 12.1.3.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Passaggio 12.1.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 - 4$

Passaggio 12.1.3.7

Somma $- 1$ e $5$ .

$f (x) = 4 - 4$

Passaggio 12.1.3.8

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (x) = 0$

Passaggio 12.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4}{x - 1}$

Passaggio 12.1.5

Dividi $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ per $x - 1$ .

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Passaggio 12.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + x$

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x - 4$

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 12.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$f (x) = x^{2} - x + 4$

Passaggio 12.1.6

Scrivi $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ come insieme di fattori.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} - x + 4))$

Passaggio 12.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 1) (x^{2} - x + 4)$