Algebra Esempi

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{4} - 12 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 x^{4} - 12 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$5 u^{2} - 12 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $u$ da $5 u^{2} - 12 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $u$ da $5 u^{2}$ .

$u (5 u) - 12 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $u$ da $- 12 u$ .

$u (5 u) + u \cdot - 12 = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $u$ da $u (5 u) + u \cdot - 12$ .

$u (5 u - 12) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} (5 x^{2} - 12) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $5 x^{2} - 12$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $5 x^{2} - 12$ uguale a $0$ .

$5 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $5 x^{2} - 12 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} = 12$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{2} = 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{2} = 12$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Passaggio 2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{12}{5}}$ come $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.2.1

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.2.1.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.4.1

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.5.2.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Passaggio 2.5.2.4.5.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Passaggio 2.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Passaggio 2.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (5 x^{2} - 12) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.5491934$ nell'espressione.

$f' (- 2.5491934) = 5 {(- 2.5491934)}^{4} - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.5491934$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2.5491934) = 5 \cdot 42.22903347 - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $5$ per $42.22903347$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 2.5491934$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 12 \cdot 6.49838699$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $6.49838699$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 77.98064388$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $77.98064388$ da $211.14516739$ .

$f' (- 2.5491934) = 133.16452351$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $133.16452351$ .

$133.16452351$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2.5491934$ la derivata è $133.16452351$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.5491934, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.7745967$ nell'espressione.

$f' (- 0.7745967) = 5 {(- 0.7745967)}^{4} - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.7745967$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 0.7745967) = 5 \cdot 0.36000005 - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $5$ per $0.36000005$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.7745967$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 12 \cdot 0.60000004$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $0.60000004$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 7.20000057$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $7.20000057$ da $1.80000028$ .

$f' (- 0.7745967) = - 5.40000028$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 5.40000028$ .

$- 5.40000028$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 0.7745967$ la derivata è $- 5.40000028$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1.5491934, 0)$ .

Decrescente su $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.7745967$ nell'espressione.

$f' (0.7745967) = 5 {(0.7745967)}^{4} - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.7745967$ alla potenza di $4$ .

$f' (0.7745967) = 5 \cdot 0.36000005 - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $5$ per $0.36000005$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $0.7745967$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 12 \cdot 0.60000004$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $0.60000004$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 7.20000057$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $7.20000057$ da $1.80000028$ .

$f' (0.7745967) = - 5.40000028$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 5.40000028$ .

$- 5.40000028$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0.7745967$ la derivata è $- 5.40000028$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Decrescente su $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.5491934$ nell'espressione.

$f' (2.5491934) = 5 {(2.5491934)}^{4} - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2.5491934$ alla potenza di $4$ .

$f' (2.5491934) = 5 \cdot 42.22903347 - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $5$ per $42.22903347$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $2.5491934$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 12 \cdot 6.49838699$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $6.49838699$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 77.98064388$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $77.98064388$ da $211.14516739$ .

$f' (2.5491934) = 133.16452351$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $133.16452351$ .

$133.16452351$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 2.5491934$ la derivata è $133.16452351$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Passaggio 10