Algebra Esempi

$y = - x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$

Passaggio 1

Scrivi $y = - x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$ come funzione.

$f (x) = - x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 6 x^{5} - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [50 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $50 x^{3}$ rispetto a $x$ è $50 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 50 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 50 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $3$ per $50$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $45$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $45 x^{2}$ rispetto a $x$ è $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $2$ per $45$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 108 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Poiché $- 108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 108 x$ rispetto a $x$ è $- 108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $- 108$ per $1$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 + \frac{d}{d x} [- 108]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Poiché $- 108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 108$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 + 0$

Passaggio 2.7.2

Somma $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ e $0$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [150 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 30 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 30 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 30 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $4$ per $- 30$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [150 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $150$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $150 x^{2}$ rispetto a $x$ è $150 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 150 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 150 (2 x) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $150$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [90 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $90$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $90 x$ rispetto a $x$ è $90 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $90$ per $1$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Poiché $- 108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 108$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90 + 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $- 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90$ e $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f' (x) = - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [50 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $50 x^{3}$ rispetto a $x$ è $50 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 50 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 50 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $3$ per $50$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Poiché $45$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $45 x^{2}$ rispetto a $x$ è $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.5.3

Moltiplica $2$ per $45$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 108 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Poiché $- 108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 108 x$ rispetto a $x$ è $- 108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.6.3

Moltiplica $- 108$ per $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Passaggio 5.1.7

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Poiché $- 108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 108$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 + 0$

Passaggio 5.1.7.2

Somma $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $6$ da $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $6$ da $- 6 x^{5}$ .

$6 (- x^{5}) - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $6$ da $- 30 x^{4}$ .

$6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4}) + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $6$ da $150 x^{2}$ .

$6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2}) + 90 x - 108 = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $6$ da $90 x$ .

$6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2}) + 6 (15 x) - 108 = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scomponi $6$ da $- 108$ .

$6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (- 18) = 0$

Passaggio 6.2.1.6

Scomponi $6$ da $6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4})$ .

$6 (- x^{5} - 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (- 18) = 0$

Passaggio 6.2.1.7

Scomponi $6$ da $6 (- x^{5} - 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2})$ .

$6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (- 18) = 0$

Passaggio 6.2.1.8

Scomponi $6$ da $6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 6 (15 x)$ .

$6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x) + 6 (- 18) = 0$

Passaggio 6.2.1.9

Scomponi $6$ da $6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x) + 6 (- 18)$ .

$6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18) = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 6.2.2.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$- 2^{5} - 5 \cdot 2^{4} + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$- 1 \cdot 32 - 5 \cdot 2^{4} + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $32$ .

$- 32 - 5 \cdot 2^{4} + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$- 32 - 5 \cdot 16 + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.5

Moltiplica $- 5$ per $16$ .

$- 32 - 80 + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.6

Sottrai $80$ da $- 32$ .

$- 112 + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 112 + 25 \cdot 4 + 15 \cdot 2 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.8

Moltiplica $25$ per $4$ .

$- 112 + 100 + 15 \cdot 2 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.9

Somma $- 112$ e $100$ .

$- 12 + 15 \cdot 2 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.10

Moltiplica $15$ per $2$ .

$- 12 + 30 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.11

Somma $- 12$ e $30$ .

$18 - 18$

Passaggio 6.2.2.3.12

Sottrai $18$ da $18$ .

$0$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18}{x - 2}$

Passaggio 6.2.2.5

Dividi $- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

Passaggio 6.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{5}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{4}$
	$x$	-	$2$	-	$x^{5}$	-	$5 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$

Passaggio 6.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{5} + 2 x^{4}$

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

Passaggio 6.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 7 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

Passaggio 6.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

Passaggio 6.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 7 x^{4} + 14 x^{3}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

Passaggio 6.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

Passaggio 6.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 14 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 14 x^{3} + 28 x^{2}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

Passaggio 6.2.2.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

Passaggio 6.2.2.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Passaggio 6.2.2.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{2} + 6 x$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Passaggio 6.2.2.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

Passaggio 6.2.2.5.21

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

Passaggio 6.2.2.5.22

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

Passaggio 6.2.2.5.23

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Passaggio 6.2.2.5.24

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x - 18$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Passaggio 6.2.2.5.25

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

$0$

Passaggio 6.2.2.5.26

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9$

Passaggio 6.2.2.6

Scrivi $- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18$ come insieme di fattori.

$6 ((x - 2) (- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9)) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.2.3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Passaggio 6.2.3.3

Sostituisci $- 3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Sostituisci $- 3$ nel polinomio.

$- {(- 3)}^{4} - 7 {(- 3)}^{3} - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$- 1 \cdot 81 - 7 {(- 3)}^{3} - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$- 81 - 7 {(- 3)}^{3} - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 81 - 7 \cdot - 27 - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.5

Moltiplica $- 7$ per $- 27$ .

$- 81 + 189 - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.6

Somma $- 81$ e $189$ .

$108 - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.7

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$108 - 14 \cdot 9 - 3 \cdot - 3 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.8

Moltiplica $- 14$ per $9$ .

$108 - 126 - 3 \cdot - 3 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.9

Sottrai $126$ da $108$ .

$- 18 - 3 \cdot - 3 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.10

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$- 18 + 9 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.11

Somma $- 18$ e $9$ .

$- 9 + 9$

Passaggio 6.2.3.3.12

Somma $- 9$ e $9$ .

$0$

Passaggio 6.2.3.4

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9}{x + 3}$

Passaggio 6.2.3.5

Dividi $- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9$ per $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

Passaggio 6.2.3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{3}$
	$x$	+	$3$	-	$x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	-	$3 x$	+	$9$

Passaggio 6.2.3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{3}$
$x$	+	$3$	-	$x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	-	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$

Passaggio 6.2.3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{4} - 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Passaggio 6.2.3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

Passaggio 6.2.3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

Passaggio 6.2.3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	-	$3 x$	+	$9$
			+	$x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$

Passaggio 6.2.3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	-	$3 x$	+	$9$
			+	$x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Passaggio 6.2.3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{3} - 12 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

Passaggio 6.2.3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

Passaggio 6.2.3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 6.2.3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 6.2.3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

Passaggio 6.2.3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - 6 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

Passaggio 6.2.3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

Passaggio 6.2.3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

Passaggio 6.2.3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

Passaggio 6.2.3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

$3 x$

$9$

Passaggio 6.2.3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x + 9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

$3 x$

$9$

Passaggio 6.2.3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

$3 x$

$9$

$0$

Passaggio 6.2.3.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$

Passaggio 6.2.3.6

Scrivi $- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9$ come insieme di fattori.

$6 ((x - 2) ((x + 3) (- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3))) = 0$

Passaggio 6.2.4

Scomponi $- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Scomponi $- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.2.4.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3$

Passaggio 6.2.4.1.3

Sostituisci $- 3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.3.1

Sostituisci $- 3$ nel polinomio.

$- {(- 3)}^{3} - 4 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 6.2.4.1.3.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- - 27 - 4 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 6.2.4.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 27$ .

$27 - 4 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 6.2.4.1.3.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$27 - 4 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 6.2.4.1.3.5

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$27 - 36 - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 6.2.4.1.3.6

Sottrai $36$ da $27$ .

$- 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 6.2.4.1.3.7

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$- 9 + 6 + 3$

Passaggio 6.2.4.1.3.8

Somma $- 9$ e $6$ .

$- 3 + 3$

Passaggio 6.2.4.1.3.9

Somma $- 3$ e $3$ .

$0$

Passaggio 6.2.4.1.4

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Passaggio 6.2.4.1.5

Dividi $- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$ per $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

Passaggio 6.2.4.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$

Passaggio 6.2.4.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 6.2.4.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} - 3 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 6.2.4.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 6.2.4.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 6.2.4.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 6.2.4.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 6.2.4.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - 3 x$

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 6.2.4.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$

Passaggio 6.2.4.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$

Passaggio 6.2.4.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$

Passaggio 6.2.4.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$
							+	$x$	+	$3$

Passaggio 6.2.4.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 3$

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$

Passaggio 6.2.4.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$
										$0$

Passaggio 6.2.4.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} - x + 1$

Passaggio 6.2.4.1.6

Scrivi $- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$ come insieme di fattori.

$6 ((x - 2) ((x + 3) ((x + 3) (- x^{2} - x + 1)))) = 0$

Passaggio 6.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 ((x - 2) ((x + 3) (x + 3) (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Passaggio 6.2.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1.1

Eleva $x + 3$ alla potenza di $1$ .

$6 ((x - 2) ((x + 3) (x + 3) (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Passaggio 6.2.5.1.1.2

Eleva $x + 3$ alla potenza di $1$ .

$6 ((x - 2) ((x + 3) (x + 3) (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Passaggio 6.2.5.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 ((x - 2) ({(x + 3)}^{1 + 1} (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Passaggio 6.2.5.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$6 ((x - 2) ({(x + 3)}^{2} (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Passaggio 6.2.5.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 ((x - 2) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - x + 1)) = 0$

Passaggio 6.2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 2) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - x + 1) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.5

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi ${(x + 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6.6

Imposta $- x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Imposta $- x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ .

$- x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 6.6.2

Risolvi $- x^{2} - x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.6.2.2

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.3.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Passaggio 6.6.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.4.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Passaggio 6.6.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.5.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Passaggio 6.6.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 2) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - x + 1) = 0$ vera.

$x = 2, - 3, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 2, - 3, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 30 {(2)}^{4} - 120 {(2)}^{3} + 300 (2) + 90$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$- 30 \cdot 16 - 120 {(2)}^{3} + 300 (2) + 90$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 30$ per $16$ .

$- 480 - 120 {(2)}^{3} + 300 (2) + 90$

Passaggio 10.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 480 - 120 \cdot 8 + 300 (2) + 90$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $- 120$ per $8$ .

$- 480 - 960 + 300 (2) + 90$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $300$ per $2$ .

$- 480 - 960 + 600 + 90$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $960$ da $- 480$ .

$- 1440 + 600 + 90$

Passaggio 10.2.2

Somma $- 1440$ e $600$ .

$- 840 + 90$

Passaggio 10.2.3

Somma $- 840$ e $90$ .

$- 750$

Passaggio 11

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - {(2)}^{6} - 6 {(2)}^{5} + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$f (2) = - 1 \cdot 64 - 6 {(2)}^{5} + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$f (2) = - 64 - 6 {(2)}^{5} + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Passaggio 12.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (2) = - 64 - 6 \cdot 32 + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $32$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Passaggio 12.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 50 \cdot 8 + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Passaggio 12.2.1.6

Moltiplica $50$ per $8$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 400 + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Passaggio 12.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 400 + 45 \cdot 4 - 108 \cdot 2 - 108$

Passaggio 12.2.1.8

Moltiplica $45$ per $4$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 400 + 180 - 108 \cdot 2 - 108$

Passaggio 12.2.1.9

Moltiplica $- 108$ per $2$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 400 + 180 - 216 - 108$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Sottrai $192$ da $- 64$ .

$f (2) = - 256 + 400 + 180 - 216 - 108$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $- 256$ e $400$ .

$f (2) = 144 + 180 - 216 - 108$

Passaggio 12.2.2.3

Somma $144$ e $180$ .

$f (2) = 324 - 216 - 108$

Passaggio 12.2.2.4

Sottrai $216$ da $324$ .

$f (2) = 108 - 108$

Passaggio 12.2.2.5

Sottrai $108$ da $108$ .

$f (2) = 0$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 30 {(- 3)}^{4} - 120 {(- 3)}^{3} + 300 (- 3) + 90$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$- 30 \cdot 81 - 120 {(- 3)}^{3} + 300 (- 3) + 90$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- 30$ per $81$ .

$- 2430 - 120 {(- 3)}^{3} + 300 (- 3) + 90$

Passaggio 14.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 2430 - 120 \cdot - 27 + 300 (- 3) + 90$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $- 120$ per $- 27$ .

$- 2430 + 3240 + 300 (- 3) + 90$

Passaggio 14.1.5

Moltiplica $300$ per $- 3$ .

$- 2430 + 3240 - 900 + 90$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $- 2430$ e $3240$ .

$810 - 900 + 90$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $900$ da $810$ .

$- 90 + 90$

Passaggio 14.2.3

Somma $- 90$ e $90$ .

$0$

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 6$ , dall'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata prima $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = - 6 {(- 6)}^{5} - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1.1

Moltiplica $- 6$ per ${(- 6)}^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 6$ per ${(- 6)}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1.1.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 6) = (- 6) {(- 6)}^{5} - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Passaggio 15.2.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 6) = {(- 6)}^{1 + 5} - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Passaggio 15.2.2.1.1.2

Somma $1$ e $5$ .

$f' (- 6) = {(- 6)}^{6} - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Passaggio 15.2.2.1.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $6$ .

$f' (- 6) = 46656 - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Passaggio 15.2.2.1.3

Eleva $- 6$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 6) = 46656 - 30 \cdot 1296 + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Passaggio 15.2.2.1.4

Moltiplica $- 30$ per $1296$ .

$f' (- 6) = 46656 - 38880 + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Passaggio 15.2.2.1.5

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = 46656 - 38880 + 150 \cdot 36 + 90 (- 6) - 108$

Passaggio 15.2.2.1.6

Moltiplica $150$ per $36$ .

$f' (- 6) = 46656 - 38880 + 5400 + 90 (- 6) - 108$

Passaggio 15.2.2.1.7

Moltiplica $90$ per $- 6$ .

$f' (- 6) = 46656 - 38880 + 5400 - 540 - 108$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Sottrai $38880$ da $46656$ .

$f' (- 6) = 7776 + 5400 - 540 - 108$

Passaggio 15.2.2.2.2

Somma $7776$ e $5400$ .

$f' (- 6) = 13176 - 540 - 108$

Passaggio 15.2.2.2.3

Sottrai $540$ da $13176$ .

$f' (- 6) = 12636 - 108$

Passaggio 15.2.2.2.4

Sottrai $108$ da $12636$ .

$f' (- 6) = 12528$

Passaggio 15.2.2.3

La risposta finale è $12528$ .

$12528$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- 3, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ nella derivata prima $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 6 {(- 2)}^{5} - 30 {(- 2)}^{4} + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$f' (- 2) = - 6 \cdot - 32 - 30 {(- 2)}^{4} + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Passaggio 15.3.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $- 32$ .

$f' (- 2) = 192 - 30 {(- 2)}^{4} + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Passaggio 15.3.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = 192 - 30 \cdot 16 + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Passaggio 15.3.2.1.4

Moltiplica $- 30$ per $16$ .

$f' (- 2) = 192 - 480 + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Passaggio 15.3.2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = 192 - 480 + 150 \cdot 4 + 90 (- 2) - 108$

Passaggio 15.3.2.1.6

Moltiplica $150$ per $4$ .

$f' (- 2) = 192 - 480 + 600 + 90 (- 2) - 108$

Passaggio 15.3.2.1.7

Moltiplica $90$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 192 - 480 + 600 - 180 - 108$

Passaggio 15.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1

Sottrai $480$ da $192$ .

$f' (- 2) = - 288 + 600 - 180 - 108$

Passaggio 15.3.2.2.2

Somma $- 288$ e $600$ .

$f' (- 2) = 312 - 180 - 108$

Passaggio 15.3.2.2.3

Sottrai $180$ da $312$ .

$f' (- 2) = 132 - 108$

Passaggio 15.3.2.2.4

Sottrai $108$ da $132$ .

$f' (- 2) = 24$

Passaggio 15.3.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ nella derivata prima $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 6 {(0)}^{5} - 30 {(0)}^{4} + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = - 6 \cdot 0 - 30 {(0)}^{4} + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Passaggio 15.4.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 30 {(0)}^{4} + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Passaggio 15.4.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 30 \cdot 0 + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Passaggio 15.4.2.1.4

Moltiplica $- 30$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Passaggio 15.4.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 150 \cdot 0 + 90 (0) - 108$

Passaggio 15.4.2.1.6

Moltiplica $150$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 90 (0) - 108$

Passaggio 15.4.2.1.7

Moltiplica $90$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 0 - 108$

Passaggio 15.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 108$

Passaggio 15.4.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 108$

Passaggio 15.4.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 108$

Passaggio 15.4.2.2.4

Sottrai $108$ da $0$ .

$f' (0) = - 108$

Passaggio 15.4.2.3

La risposta finale è $- 108$ .

$- 108$

Passaggio 15.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dall'intervallo $(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 2)$ nella derivata prima $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Passaggio 15.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Passaggio 15.5.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (1) = - 6 - 30 {(1)}^{4} + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Passaggio 15.5.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 6 - 30 \cdot 1 + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Passaggio 15.5.2.1.4

Moltiplica $- 30$ per $1$ .

$f' (1) = - 6 - 30 + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Passaggio 15.5.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 6 - 30 + 150 \cdot 1 + 90 (1) - 108$

Passaggio 15.5.2.1.6

Moltiplica $150$ per $1$ .

$f' (1) = - 6 - 30 + 150 + 90 (1) - 108$

Passaggio 15.5.2.1.7

Moltiplica $90$ per $1$ .

$f' (1) = - 6 - 30 + 150 + 90 - 108$

Passaggio 15.5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.2.1

Sottrai $30$ da $- 6$ .

$f' (1) = - 36 + 150 + 90 - 108$

Passaggio 15.5.2.2.2

Somma $- 36$ e $150$ .

$f' (1) = 114 + 90 - 108$

Passaggio 15.5.2.2.3

Somma $114$ e $90$ .

$f' (1) = 204 - 108$

Passaggio 15.5.2.2.4

Sottrai $108$ da $204$ .

$f' (1) = 96$

Passaggio 15.5.2.3

La risposta finale è $96$ .

$96$

Passaggio 15.6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - 6 {(4)}^{5} - 30 {(4)}^{4} + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Passaggio 15.6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$f' (4) = - 6 \cdot 1024 - 30 {(4)}^{4} + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Passaggio 15.6.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $1024$ .

$f' (4) = - 6144 - 30 {(4)}^{4} + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Passaggio 15.6.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = - 6144 - 30 \cdot 256 + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Passaggio 15.6.2.1.4

Moltiplica $- 30$ per $256$ .

$f' (4) = - 6144 - 7680 + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Passaggio 15.6.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = - 6144 - 7680 + 150 \cdot 16 + 90 (4) - 108$

Passaggio 15.6.2.1.6

Moltiplica $150$ per $16$ .

$f' (4) = - 6144 - 7680 + 2400 + 90 (4) - 108$

Passaggio 15.6.2.1.7

Moltiplica $90$ per $4$ .

$f' (4) = - 6144 - 7680 + 2400 + 360 - 108$

Passaggio 15.6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.2.2.1

Sottrai $7680$ da $- 6144$ .

$f' (4) = - 13824 + 2400 + 360 - 108$

Passaggio 15.6.2.2.2

Somma $- 13824$ e $2400$ .

$f' (4) = - 11424 + 360 - 108$

Passaggio 15.6.2.2.3

Somma $- 11424$ e $360$ .

$f' (4) = - 11064 - 108$

Passaggio 15.6.2.2.4

Sottrai $108$ da $- 11064$ .

$f' (4) = - 11172$

Passaggio 15.6.2.3

La risposta finale è $- 11172$ .

$- 11172$

Passaggio 15.7

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = - 3$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , allora $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ è un massimo locale.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15.9

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ , allora $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ è un minimo locale.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15.10

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 2$ , allora $x = 2$ è un massimo locale.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 15.11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$ .

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ è un massimo locale

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ è un minimo locale

$x = 2$ è un massimo locale

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ è un massimo locale

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ è un minimo locale

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 16