Algebra Esempi

$e^{- x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{- x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x e^{- x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.8.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 3.10

Moltiplica $e^{- x^{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Passaggio 3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 3.11.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 3.11.4

Riordina i fattori in $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Passaggio 5.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 5.1.3.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x e^{- x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $e^{- x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $e^{- x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $e^{- x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 6.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 6.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 x e^{- x^{2}} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 10.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 10.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 10.1.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 10.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 2 e^{- 0}$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 - 2 e^{0}$

Passaggio 10.1.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.10

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = e^{- 0}$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Passaggio 12.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{- x^{2}}$ .

$(0, 1)$ è un massimo locale

Passaggio 14