Algebra Esempi

${(3 (\cos (30) + i \sin (30)))}^{3}$

Passaggio 1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30)))}^{3}$

Passaggio 1.1.2

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{3}$

Passaggio 1.1.3

$i$ e $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{3}$

Passaggio 1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

${(3 \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{3}$

Passaggio 1.2.2

$3$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{3}$

Passaggio 1.2.3

$3$ e $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 2

Usa il teorema binomiale.

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{(3 \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{27 \sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 \sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.4

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{27 \sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{27 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{27 \cdot 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.6

Moltiplica $27$ per $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.4

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(3 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.5.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.5.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{1}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.5.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3}{4} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{27}{4}) \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.8

Moltiplica $3 (\frac{27}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1

$3$ e $\frac{27}{4}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 27}{4} \cdot \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.8.2

Moltiplica $3$ per $27$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.9

Moltiplica $\frac{81}{4} \cdot \frac{3 i}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.9.1

Moltiplica $\frac{81}{4}$ per $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{81 (3 i)}{4 \cdot 2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.9.2

Moltiplica $3$ per $81$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.9.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.10

Moltiplica $3 \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.1

$3$ e $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3 (3 \sqrt{3})}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.10.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.11

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.11.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(3 i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.11.2

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.12

Combina.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.13

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.13.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.13.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.13.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.13.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.14.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{2} \cdot 3^{2} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.14.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{2 + 2} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.14.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{4} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.15

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{4} \sqrt{3} i^{2}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.16.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{81 \sqrt{3} i^{2}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.16.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{81 \sqrt{3} \cdot - 1}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.16.3

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{- 81 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.18

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.18.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{{(3 i)}^{3}}{2^{3}}$

Passaggio 3.1.18.2

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{3^{3} i^{3}}{2^{3}}$

Passaggio 3.1.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.19.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 i^{3}}{2^{3}}$

Passaggio 3.1.19.2

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

Passaggio 3.1.19.3

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

Passaggio 3.1.19.4

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 \cdot - 1 i}{2^{3}}$

Passaggio 3.1.19.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.19.5.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- (27 i)}{2^{3}}$

Passaggio 3.1.19.5.2

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 27 i}{2^{3}}$

Passaggio 3.1.20

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 27 i}{8}$

Passaggio 3.1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} - \frac{27 i}{8}$

Passaggio 3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81 \sqrt{3} + 243 i - 81 \sqrt{3} - 27 i}{8}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $81 \sqrt{3}$ da $81 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 243 i - 27 i}{8}$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $243 i$ .

$\frac{243 i - 27 i}{8}$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $27 i$ da $243 i$ .

$\frac{216 i}{8}$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $216$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Scomponi $8$ da $216 i$ .

$\frac{8 (27 i)}{8}$

Passaggio 3.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$\frac{8 (27 i)}{8 (1)}$

Passaggio 3.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 (27 i)}{8 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27 i}{1}$

Passaggio 3.2.5.2.4

Dividi $27 i$ per $1$ .

$27 i$