Algebra Esempi

$y = 3 x e^{- k x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d k} (y) = \frac{d}{d k} (3 x e^{- k x})$

Passaggio 2

Poiché $y$ è costante rispetto a $k$ , la derivata di $y$ rispetto a $k$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $k$ , la derivata di $3 x e^{- k x}$ rispetto a $k$ è $3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$ .

$3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ è $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ dove $f (k) = x$ e $g (k) = e^{- k x}$ .

$3 (x \frac{d}{d k} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ è $f' (g (k)) g' (k)$ dove $f (k) = e^{k}$ e $g (k) = - k x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- k x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- k x$ .

$3 (x (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $k$ , la derivata di $- k x$ rispetto a $k$ è $- \frac{d}{d k} [k x]$ .

$3 (x (e^{- k x} (- \frac{d}{d k} [k x])) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ è $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ dove $f (k) = k$ e $g (k) = x$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k \frac{d}{d k} [x] + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\frac{d}{d k} [x]$ come $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ è $n k^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \cdot 1))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Passaggio 3.8

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\frac{d}{d k} [x]$ come $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x') - x)) + e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')) + e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x'))) + x (e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 (x (e^{- k x} (k x'))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x^{1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1 + 1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.5.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.5.7

Riscrivi $- 1 e^{- k x}$ come $- e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Passaggio 3.10.5.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 e^{- k x} x'$

Passaggio 3.10.6

Riordina i termini.

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$0 = - 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$ .

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$ .

$- 3 k x x' e^{- k x} - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 0$

Passaggio 5.3

Somma $3 x^{2} e^{- k x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Passaggio 5.4

Scomponi $3 x' e^{- k x}$ da $- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $3 x' e^{- k x}$ da $- 3 k x x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $3 x' e^{- k x}$ da $3 x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1 = 3 x^{2} e^{- k x}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $3 x' e^{- k x}$ da $3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$

Passaggio 5.5

Dividi per $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ ciascun termine in $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ ciascun termine in $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ .

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $e^{- k x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $- k x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.3.2

Elimina il fattore comune di $e^{- k x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{x^{2}}{- k x + 1}$

Passaggio 5.5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- k x$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) + 1}$

Passaggio 5.5.3.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) - 1 (- 1)}$

Passaggio 5.5.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (k x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x - 1)}$

Passaggio 5.5.3.6

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.1

Riscrivi $- (k x - 1)$ come $- 1 (k x - 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- 1 (k x - 1)}$

Passaggio 5.5.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d k}$ .

$\frac{d x}{d k} = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$