Algebra Esempi

$x^{3} e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{3} e^{x}$ come funzione.

$f (x) = x^{3} e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riordina i termini.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $x^{2} e^{x}$ da $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{2} e^{x}$ da $x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x^{2} e^{x}$ da $3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $x^{2} e^{x}$ da $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ .

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.6

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, - 3$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 3$ .

$0, - 3$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = - 64 e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - 64 \frac{1}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Passaggio 6.2.1.3

$- 64$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Passaggio 6.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 \cdot (16 e^{- 4})$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 e^{- 4}$

Passaggio 6.2.1.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 (\frac{1}{e^{4}})$

Passaggio 6.2.1.8

$48$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + \frac{48}{e^{4}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 4) = \frac{- 64 + 48}{e^{4}}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Somma $- 64$ e $48$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{e^{4}}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 4) = - \frac{16}{e^{4}}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{16}{e^{4}}$ .

$- \frac{16}{e^{4}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 4$ la derivata è $- \frac{16}{e^{4}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ per $\frac{27}{8}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 8} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.7

Sposta $8$ alla sinistra di $e^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 \cdot e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.8

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.10

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{4}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.13

Moltiplica $3 (\frac{9}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.13.1

$3$ e $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.13.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.14

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.15

Combina.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 1}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.16

Moltiplica $27$ per $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8 e^{\frac{3}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{4 e^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $27$ per $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.5.2

Somma $- 27$ e $54$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{3}{2}$ la derivata è $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 3, 0)$ .

Crescente su $(- 3, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = {(1)}^{3} e^{1} + 3 {(1)}^{2} e^{1}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 1 e + 3 {(1)}^{2} e$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $e^{1}$ per $1$ .

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Passaggio 8.2.1.3

Semplifica.

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Passaggio 8.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = e + 3 \cdot (1 e)$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = e + 3 e$

Passaggio 8.2.1.6

Semplifica.

$f' (1) = e + 3 e$

Passaggio 8.2.2

Somma $e$ e $3 e$ .

$f' (1) = 4 e$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $4 e$ .

$4 e$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $4 e$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 3, 0), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 3)$

Passaggio 10