Algebra Esempi

$4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$4 {(3)}^{4} - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$4 \cdot 81 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $4$ per $81$ .

$324 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Passaggio 4.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$324 - 18 \cdot 27 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 18$ per $27$ .

$324 - 486 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Passaggio 4.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$324 - 486 + 42 \cdot 9 - 108 \cdot 3 + 108$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $42$ per $9$ .

$324 - 486 + 378 - 108 \cdot 3 + 108$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $- 108$ per $3$ .

$324 - 486 + 378 - 324 + 108$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $486$ da $324$ .

$- 162 + 378 - 324 + 108$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 162$ e $378$ .

$216 - 324 + 108$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $324$ da $216$ .

$- 108 + 108$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 108$ e $108$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108}{x - 3}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(4)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

	$4$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(12)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 18)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$	$- 6$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 6)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(- 18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(42)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$	$24$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(24)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(72)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 36)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(- 108)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$4 x^{3} + - 6 x^{2} + (24) x - 36$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 6 x^{2} + 24 x - 36)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 24 x - 36)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $24 x$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) - 36)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18))$

Passaggio 7.7

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18))$

Passaggio 8

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18))$

Passaggio 8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3)))$

Passaggio 9

Scomponi.

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Passaggio 9.1

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 3) (x^{2} + 6)))$

Passaggio 9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) (2 (2 x - 3) (x^{2} + 6))$

Passaggio 10

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 10.1

Scomponi $2$ da $4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108$ .

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Passaggio 10.1.1

Scomponi $2$ da $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $2$ da $- 18 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Passaggio 10.1.3

Scomponi $2$ da $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) - 108 x + 108 = 0$

Passaggio 10.1.4

Scomponi $2$ da $- 108 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 108 = 0$

Passaggio 10.1.5

Scomponi $2$ da $108$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Passaggio 10.1.6

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Passaggio 10.1.7

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Passaggio 10.1.8

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54) = 0$

Passaggio 10.1.9

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x + 54) = 0$

Passaggio 10.2

Raggruppa i termini.

$2 (2 x^{4} - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.3

Scomponi $2 x$ da $2 x^{4} - 54 x$ .

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Passaggio 10.3.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{4}$ .

$2 (2 x (x^{3}) - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $2 x$ da $- 54 x$ .

$2 (2 x (x^{3}) + 2 x (- 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{3}) + 2 x (- 27)$ .

$2 (2 x (x^{3} - 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.4

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$2 (2 x (x^{3} - 3^{3}) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.5

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.6

Scomponi.

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Passaggio 10.6.1

Semplifica.

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Passaggio 10.6.1.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.6.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.7

Scomponi $3$ da $- 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54$ .

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Passaggio 10.7.1

Scomponi $3$ da $- 9 x^{3}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 21 x^{2} + 54) = 0$

Passaggio 10.7.2

Scomponi $3$ da $21 x^{2}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 54) = 0$

Passaggio 10.7.3

Scomponi $3$ da $54$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Passaggio 10.7.4

Scomponi $3$ da $3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Passaggio 10.7.5

Scomponi $3$ da $3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18)) = 0$

Passaggio 10.8

Scomponi.

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Passaggio 10.8.1

Scomponi $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 10.8.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 10.8.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 18, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 9, \pm 3$

Passaggio 10.8.1.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 10.8.1.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$- 3 \cdot 3^{3} + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Passaggio 10.8.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- 3 \cdot 27 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Passaggio 10.8.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $27$ .

$- 81 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Passaggio 10.8.1.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- 81 + 7 \cdot 9 + 18$

Passaggio 10.8.1.3.5

Moltiplica $7$ per $9$ .

$- 81 + 63 + 18$

Passaggio 10.8.1.3.6

Somma $- 81$ e $63$ .

$- 18 + 18$

Passaggio 10.8.1.3.7

Somma $- 18$ e $18$ .

$0$

Passaggio 10.8.1.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18}{x - 3}$

Passaggio 10.8.1.5

Dividi $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ per $x - 3$ .

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Passaggio 10.8.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$18$

Passaggio 10.8.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$

Passaggio 10.8.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			-	$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Passaggio 10.8.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{3} + 9 x^{2}$

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Passaggio 10.8.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 10.8.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 10.8.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 10.8.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 10.8.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 6 x$

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 10.8.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Passaggio 10.8.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Passaggio 10.8.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Passaggio 10.8.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Passaggio 10.8.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x + 18$

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Passaggio 10.8.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$
										$0$

Passaggio 10.8.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- 3 x^{2} - 2 x - 6$

Passaggio 10.8.1.6

Scrivi $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ come insieme di fattori.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 ((x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Passaggio 10.9

Scomponi $x - 3$ da $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Scomponi $x - 3$ da $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Passaggio 10.9.2

Scomponi $x - 3$ da $3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.9.3

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.10

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x - 3) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.11.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.11.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.11.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.11.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.11.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 ((x - 3) (2 x^{2 + 1} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.11.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.11.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.11.3

Moltiplica $9$ per $2$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.12.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.12.1.1

Sposta $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 (x \cdot x)) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.12.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x^{2}) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.12.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Passaggio 10.13

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Passaggio 10.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.14.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Passaggio 10.14.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x + 3 \cdot - 6)) = 0$

Passaggio 10.14.3

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x - 18)) = 0$

Passaggio 10.15

Sottrai $9 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x - 6 x - 18)) = 0$

Passaggio 10.16

Sottrai $6 x$ da $18 x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18)) = 0$

Passaggio 10.17

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.17.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.17.1.1

Riscrivi $2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.17.1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.17.1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 ((x - 3) ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18)) = 0$

Passaggio 10.17.1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 ((x - 3) (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3))) = 0$

Passaggio 10.17.1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$2 ((x - 3) ((2 x - 3) (x^{2} + 6))) = 0$

Passaggio 10.17.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 ((x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6)) = 0$

Passaggio 10.17.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 13

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 13.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 13.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 13.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 14

Imposta $x^{2} + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta $x^{2} + 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi $x^{2} + 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 6$

Passaggio 14.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Passaggio 14.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Passaggio 14.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (6)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Passaggio 14.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Passaggio 14.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{6}$

Passaggio 14.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{6}$

Passaggio 14.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$ vera.

$x = 3, \frac{3}{2}, i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Passaggio 16