Algebra Esempi

$- \frac{\sqrt{2}}{3} + i$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ e $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Trova $| z |$ .

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Passaggio 4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{1 + {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}})}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}})}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 4.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 4.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Passaggio 4.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Passaggio 4.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Passaggio 4.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2}{3^{2}}}$

Passaggio 4.4.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2}{3^{2}}}$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2}{9}}$

Passaggio 4.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{2}{9}}$

Passaggio 4.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{9 + 2}{9}}$

Passaggio 4.5.4

Somma $9$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{11}{9}}$

Passaggio 4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{11}{9}}$ come $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 4.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.7.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 4.7.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = \frac{\sqrt{11}}{3}$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{3}})$

Passaggio 6

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{3}}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $2.01130698$ .

$θ = 2.01130698$

Passaggio 7

Sostituisci i valori di $θ = 2.01130698$ e $| z | = \frac{\sqrt{11}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{3 (\cos (2.01130698) + i \sin (2.01130698))}$